Шпаргалка: Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики

№1 Функциональные ряды

Членами являются функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х: U1(x)+U2(x)+…+Un(x)+… Придавая х какое-либо значение х0 из области определения функций Un(x), получим числовой ряд U1(x0)+ U2(x0)+…+ Un(x0)+… Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка х0 называется точкой сходимости функционального ряда. Если при х=х0 ряд расходится, то точка х0 называется точкой расходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью его сходимости.

Функциональный ряд называется правильно сходящимся на сегменте [a, b], если существует такой знакоположительный сходящийся ряд b1+ b2 +…+ bn +…, что абсолютные величины членов данного ряда для любого значения х, принадлежащего сегменту [a, b], не превосходят соответствующих членов знакоположительного ряда, т. е. |Un(x)| ≤ bn (n=1, 2, …)

№2 Неопределенный интеграл и его свойства

Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти F(x), зная ее производную f(x).

Функция F(x) называется первообразной, если выполняется равенство F’(x)=f(x).

Если F(x) одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная функции f(x) на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где С€R.

Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом

Свойства:

– неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности;

– постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

№3 Асимптоты

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к 0 при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Прямая х=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если lim f(x)=∞ ,

x→0±a

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде y=Rx+b

R = lim(y/x) ; b = lim (y – Rx)

x→0 x→0

Если y = b, то это уравнение горизонтальной асимптоты.

№4 Экстремум функции (для одной переменной)

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), то f(x) возрастает (убывает) на этом промежутке. Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х, не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(х0), где х0 – точка максимума. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна 0.

Достаточное условие экстремума: если производная меняет знак на минус, то х0 – точка максимума; если с минуса на плюс, то точка х0 – точка минимума.

№5 Производная. Ее геометрический и физический смысл.

Физический: производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента ∆х при произвольном стремлении ∆х к 0.

Геометрический: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 равен значению производной этой функции в точке х0.

№6 Замечательные пределы

lim (1+1/x)^x=e; lim (1+x)^1/x=e (e – экспонент)

x→∞ x→0

№7 Точки разрыва функции, классификация

Точка х0 называется точкой разрыва функции y=f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности. В этом случае говорят, что при х = х0 функция разрывна. Это может произойти, если в точке х0 функция не определена, или не существует предел функции при х → х0 , или, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке х0: lim f(x) ≠ f(х0). Точку х0 называют точкой разрыва первого рода,

x→x0

если существуют конечные односторонние пределы f(x0-0)=lim f(x) и f(x0+0)=lim f(x), но f(x0-0)≠f(x0+0). x→x0-0 x→x0+0

Точку х0 называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов f(x0-0) и f(x0+0) не существует (в частности, бесконечен).

№8 Непрерывность функции на отрезке

Функция y=f(x) называется непрерывной, если:

– функция определена в точке х0 и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

– функция имеет предел при x→x0,

– предел функции при x→x0 равен значению функции в точке x0: lim f(x) = f(х0)

x→x0

Если в точке х0 функция непрерывна, то точка х0 называется точкой непрерывности данной функции. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке х0 справа или слева (т.е. одностороннюю непрерывность). Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 . Если lim f(x) = f(х0), то говорят, что функция y=f(x) непрерывна в точке x0 справа; если lim f(x) = f(х0),

x→x0+0 x→x0-0

то функция называется непрерывной в точке x0 слева.

№9 Предел функции по Гейне

Число А называется пределом функции f(x) в точке x0 если для любой последовательности { xn} сходящейся к x0 , последовательность F({ xn}) соответствующих значений функции сходится к А:

lim f(x) =A

x→x0

№10 Предел функции по Коши

Число А называется пределом функции f(x) в точке x0 если для любого сколь угодно малого числа E>0 (эпселон больше 0) найдется такое число δ>0 (дельта больше 0), что для всех х таких, что | x-x0|< δ, x≠x0 выполняется неравенство |f(x)-A|<E.

№11 Предел числовой последовательности

Число а называется пределом последовательности xn, если для любого положительного E>0 найдется такое число n, где n<N выполняется неравенство | xn-a|<E. В этом случае обозначают так lim xn = a

n→∞

Если последовательность имеет предел, равный а, то она сходится к а. Теорема: сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Операции над пределами последовательностей:

Пусть lim xn = a; lim уn = b, тогда

n→∞ n→∞

– lim (xn± уn) = a±b;

n→∞

– lim (xn* уn) = a*b;

n→∞

– lim (c* xn) = c*a;

n→∞

– lim (xn)^R = (lim xn)^R=a^R;

n→∞

– lim (xn)^1/R = a^1/R;

n→∞

– lim a = a.

n→∞

Бесконечно большие последовательности:

– lim xn= ±∞;

n→∞

Правила вычисления пределов ЧП:

– lim xn= а; lim yn= ±∞, тогда lim xn/ lim yn = а/±∞=0;

n→∞ n→∞ n→∞ n→∞

– lim xn= 0; lim yn= ±∞, тогда lim yn=0, lim (xn/ yn)= ±∞

n→0 n→∞ n→∞ n→∞

№12 Общее уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Если точки М0 (x0 ; y0 ; z0 ), М1 (x1 ; y1 ; z1 ), М2 (x2 ; y2 ; z2 ) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением

x – x0 y – y0 z – z0

x1 – x0 y1 – y0 z1 – z0 = 0

x2 – x0 y2 – y0 z2 – z0

№14 Уравнение прямой в пространстве (общее и каноническое).

Прямая L, проходящая через точку М0 (x0 ; y0 ; z0 ) и имеющая направляющий вектор a {l,m,n}, представляется уравнениями x – x0 y – y0 z – z0

= = ,

l m n

выражающими коллинеарность векторов a {l,m,n} и М0М { x – x0 , y – y0 , z – z0 }. Они называются каноническими.

№15 Уравнение прямой на плоскости.

Ax + By + C = 0, где А, В, С – постоянные коэффициенты.

Заметим, что n (А; В) – нормальный вектор (n ┴ прямой).

Частные случаи этого уравнения:

– Ах + By = 0 (C=0) – прямая проходит через начало координат;

– Ах + С = 0 (В=0) – прямая параллельна оси Оу;

– Ву + С = 0 (А=0) – прямая параллельна оси Ох;

– Ах = 0 – прямая совпадает с осью Оу;

– Ву = 0 – прямая совпадает с осью Ох.

№16 Векторы. Операции над векторами.

Вектор – направленный отрезок прямой.

I. Правила треугольника. Правила параллелограмма. II. Разность векторов. Параллелограмма.

а b а b а a c

а b a + b = c

a b b а

Равенство векторов:

Два (ненулевых) вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Сложение векторов:

Суммой векторов называется третий вектор

Сумма нескольких векторов: Суммой векторов а1, а2, а3, …, аn называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному прибавляется вектор а3 и т.д.

Коллинеарность векторов:

Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Скалярное произведение:

Скалярным произведением вектора а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними

Угол между векторами:

cos(a^b)=(a*b)/(|a|*|b|)=(x1x2+y1y2+z1z2)/((x1^2+y1^2+z1^2)*(x2^2+y2^2+z2^2))^1/2

№17 Система линейных уравнений. Формулы Крамера.

x = ∆1/∆; x2 = ∆2/∆; … xn = ∆n/∆

№18 Система линейных уравнений. Метод Гауса.

Системой линейных уравнений, содержащей m-уравнений и n-неизвестных, называется система вида а11х1 + а12х2 + а13х3+…+аnxn = b1;

{ а21х1 + а22х2 + а23х3+…+аnxn = b2; }, где аij – коэффициенты системы, bi – свободные

am1x1 + am2x2 + am3x3+…+amnxn = bm члены

№19 Обратная матрица. Ранг матрицы.

Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие А* А-1 = А-1*А = Е

Всякая невырожденная матрица (т.е. ∆≠0) имеет обратную.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. вычисляем определитель, составленный по данной матрице;

2. находим матрицу АТ, транспонированную к А;

3.

A11 A21 … An1

A12 A22 … An2

составляем союзную матрицу (А*);

4. вычисляем обратную матрицу по формуле А-1 = А*/∆А = 1/∆А* ( )

Ранг м-цы:

Минором R-го порядка произвольной м-цы А называется определитель, составленный из элементов м-цы, расположенных на пересечении каких-либо R-строк и R-столбцов.

Рангом м-цы А называется наибольший из порядков ее миноров, неравных 0.

Базисным минором называется любое из миноров м-цы А, порядок которого равен рангу А.

При элементарных преобразованиях ранг м-цы не изменяется.

Ранг ступенчатой м-цы равен количеству ее не нулевых строк.

Свойства:

– при транспонировании м-цы ее ранг не меняется;

– если вычеркнуть из м-цы нулевой ряд, то ранг не изменится.

№20 Матрицы. Операции над матрицами.

Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбцов. Числа, составляющие м-цу, называются элементами м-цы.

Две м-цы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно.

Виды: м-ца-строка; м-ца-столбец.

М-ца называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Квадратная м-ца, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0, называется диагональной.

Если у диагональной м-цы n-го порядка все элеметы главной диагонали равны 1, то м-ца называется единичной n-го порядка и обозначается Е.

Если все элементы м-цы равны 0, то она называется нулевой.

Операции над матрицами:

Умножение м-цы на число. Произведением м-цы А на число λ называется матрица В= λ*А, элементы которой bij = λ* aij (i=1,…,m, j=1,…,n)

Сложение м-ц. Суммой двух м-ц А и В одинакового размера m на n называется м-ца С=А+В, элементы которой Сij=aij+bij.

Аналогично находится разность.

R

Умножение м-ц. Умножение м-цы А на м-цу В возможно когда число столбцов первой м-цы равно числу строк второй. Тогда произведением м-цы А и В называется м-ца С, каждый элемент которой находится по формуле

Сij=ai1*b1j+ai2*b2j+…+aiR*bR = ∑ais*bsj

S=1

Возведение в степень.

А^2=A*A

Транспонирование м-цы – переход от м-цы А к м-це АТ, в которой строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка.

№21 Определители n-го порядка. Свойства определителей.

Квадратной м-це А порядка n можно сопоставить число дельта А(|А|, ∆), которое называется определителем, если:

– n=1, A=(a1), ∆A=a1;

a11 a12

a21 a22

a11 a12

a21 a22

– n=2, A= , ∆= =a11a22-a12a21;

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

–n=3, A= ; ∆A=

Свойства определителей:

1. Если у определителя какая-л строка (столбец) состоит только из нулей, то ∆=0;

2. Если какие-л две строки (столбца) определителя пропорциональны, то ∆=0;

3. Если какую-л строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь определитель умножится на это число;

4. Если две строки (столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак;

5. Если к какой-л строке (столбцу) определителя прибавить какую-л другую строку (столбец), умноженное на произвольное число, то определитель не изменится;

6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

№22 Признаки сравнения положительных рядов.

Для исследования сходимости данного положительного ряда U0+U1+U2+… его часто сравнивают с другим положительным рядом V0+V1+V2+…, о котором известно, что он сходится или расходится.

Если ряд 2 сходится и сумма его равна V, а члены данного ряда не превосходят соответствующих членов ряда 2, то данный ряд сходится, и сумма его не превосходит V. При этом остаток данного ряда не превосходит остатка ряда 2.

Если ряд 2 расходится, а члены данного ряда не меньше соответствующих членов ряда 2, то данный ряд расходится.

№23 Признаки Даламбера и Коши сходимости ряда

Признак Даламбера:

Пусть в положительном ряде U1+U2+…+Un+… отношение Un+1/Un последующего члена к предыдущему при n→∞ имеет предел q. Возможны три случая:

q<1 –ряд сходится; q>1 – ряд расходится; q=1 – ряд может сходиться, а может и расходиться.

№24 Производные обратных тригонометрических функций.

I. d arcsin x = dx/(1-x^2)^1/2, d/dx arcsin x = 1/(1-x^2)^1/2

II. d arccos x = - dx/(1-x^2)^1/2, d/dx arccos x= - 1/(1-x^2)^1/2

III. d arctg x = dx/(1+x^2), d/dx arctg x = 1/(1+x^2)

IV. d arcctg x = - dx/(1+x^2), d/dx arcctg x = - 1/(1+x^2)

№25 Дифференцирование функций, заданных неявно.

Пусть уравнение, связывающее x и y и удовлетворяющееся значениями x=x0 и y=y0, определяет y как неявную функцию от x. Для разыскания производной dy/dx в точке x=x0, y=y0 нет нужды искать явное выражение функции. Достаточно приравнять дифференциалы обеих частей уравнения и из полученного равенства найти отношение dy к dx.

№26 Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Предположим, что функция y от х задана параметрически уравнениями x=x(t), y=y(t), причем в некоторой области изменения параметра t функции x(t) и y(t) дифференцируемы и x’(t)≠0.

Найдем производную у’x. Как мы знаем у’x = dy/dx. Так как dx = x’(t)dt, dy = y’(t)dt, то

y’x = dy/dx = y’(t)dt/x’(t)dt = y’(t)/x’(t) = y’t/x’t.

Таким образом, dy/dx = y’t/x’t. Эта формула позволяет находить производную функции, заданной параметрически.

№28 Дифференциал функции.

Пусть приращение функции y=f(x) разбито на сумму двух членов: ∆y = A ∆x+α, где А не зависит от ∆x (т.е. постоянно при данном значении аргумента x) и α имеет высший порядок относительно ∆x (при ∆x → 0).

Тогда первый член, пропорциональный ∆x, называется дифференциалом функции f(x) и обозначается dy или df(x).

№29 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение вида X1Y1dx +X2Y2dy = 0, где функции X1 и X2 зависят только от x (одна из них или обе могут быть постоянными; то же для функций Y1, Y2), а функции Y1, Y2 – только от y, приводится к виду ydx – xdy = 0 делением на Y1X2. Процесс произведения называется разделением переменных.

№30 Площадь криволинейной трапеции.

b

b

b

Фигура, ограниченная прямыми y=P; x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной на [a, b] функции f(x), называется криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции

равна

a

a

a

∫f(x)dx; ∫f(x)dx – ∫g(x)dx

№31 Дифференциальные однородные уравнения первого порядка.

ДУ первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде y’ = g (y/x).

Однородное ДУ преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены z=y/x; y=z*x, то y’=z’x+z, поэтому уравнение y’=g(y/x) преобразуем к виду z’x+z=g(z); dz*x/dx=g(z)-z; dz\(g(z)-z)=dx/x.

Найдя его общее решение следует заметить в нем z на y/x.

Однородное ДУ часто задается в дифференциальной форме: P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0.

ДУ будет однородным, если P(x;y) и Q(x;y) – однородные функции одинакового порядка.

Переписав уравнение в виде dy/dx=-P(x;y)/Q(x;y) и переменив в правой части рассмотренное выше преобразование получим уравнение y’=g(y/x).

При интегрировании уравнения P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 нет необходимости предварительно приводить их к виду y’=g(y/x): подстановка z=y/x сразу преобразует уравнение P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 в уравнение с разделяющимися переменными.

№32 Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида а0+а1х+а2х2+…+anxn+…, а также ряд более общего вида а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+an(x-х0)n+…, где х0 – постоянная величина. О первом ряде говорят, что он расположен по степеням х, во втором – что он расположен по степеням х-х0.

Постоянные а0, а1, …, аn, … называются коэффициентами степенного ряда.

Степенной ряд всегда сходится при х=0.

№33 Кривые второго порядка на плоскости (эллипс, гипербола, парабола).

Линии, определяемые уравнениями второй степени относительно переменных x и y, т.е. уравнениям вида Ах2+2Вху+Су2+2Вх+2Еу+F=0 (А2+В2+С2≠0), называются кривыми 2-го порядка.

Эллипс.

х2/а2+у2/b2=1