рефераты
рефераты
Главная
Рефераты по рекламе
Рефераты по физике
Рефераты по философии
Рефераты по финансам
Рефераты по химии
Рефераты по цифровым устройствам
Рефераты по экологическому праву
Рефераты по экономико-математическому моделированию
Рефераты по экономической географии
Рефераты по экономической теории
Рефераты по этике
Рефераты по юриспруденции
Рефераты по языковедению
Рефераты по юридическим наукам
Рефераты по истории
Рефераты по компьютерным наукам
Рефераты по медицинским наукам
Рефераты по финансовым наукам
Психология и педагогика
Промышленность производство
Биология и химия
Языкознание филология
Издательское дело и полиграфия
Рефераты по краеведению и этнографии
Рефераты по религии и мифологии
Рефераты по медицине
Рефераты по сексологии
Рефераты по информатике программированию
Рефераты по биологии
Рефераты по экономике
Рефераты по москвоведению
Рефераты по экологии
Рефераты по физкультуре и спорту
Топики по английскому языку
Рефераты по математике
Рефераты по музыке
Остальные рефераты
Рефераты по авиации и космонавтике
Рефераты по административному праву
Рефераты по безопасности жизнедеятельности
Рефераты по арбитражному процессу
Рефераты по архитектуре
Рефераты по астрономии
Рефераты по банковскому делу
Рефераты по биржевому делу
Рефераты по ботанике и сельскому хозяйству
Рефераты по бухгалтерскому учету и аудиту
Рефераты по валютным отношениям
Рефераты по ветеринарии
Рефераты для военной кафедры
Рефераты по географии
Рефераты по геодезии
Рефераты по геологии
Рефераты по геополитике
Рефераты по государству и праву
Рефераты по гражданскому праву и процессу
Рефераты по делопроизводству
Рефераты по кредитованию
Рефераты по естествознанию
Рефераты по истории техники
Рефераты по журналистике
Рефераты по зоологии
Рефераты по инвестициям
Рефераты по информатике
Исторические личности
Рефераты по кибернетике
Рефераты по коммуникации и связи
Рефераты по косметологии
Рефераты по криминалистике
Рефераты по криминологии
Рефераты по науке и технике
Рефераты по кулинарии
Рефераты по культурологии
Рефераты по зарубежной литературе
Рефераты по логике
Рефераты по логистике
Рефераты по маркетингу
Рефераты по международному публичному праву
Рефераты по международному частному праву
Рефераты по международным отношениям
Рефераты по культуре и искусству
Рефераты по менеджменту
Рефераты по металлургии
Рефераты по налогообложению
Рефераты по педагогике
Рефераты по политологии
Рефераты по праву
Биографии
Рефераты по предпринимательству
Рефераты по психологии
Рефераты по радиоэлектронике
Рефераты по риторике
Рефераты по социологии
Рефераты по статистике
Рефераты по страхованию
Рефераты по строительству
Рефераты по схемотехнике
Рефераты по таможенной системе
Сочинения по литературе и русскому языку
Рефераты по теории государства и права
Рефераты по теории организации
Рефераты по теплотехнике
Рефераты по технологии
Рефераты по товароведению
Рефераты по транспорту
Рефераты по трудовому праву
Рефераты по туризму
Рефераты по уголовному праву и процессу
Рефераты по управлению

Шпаргалка: Основные понятия математического анализа


Шпаргалка: Основные понятия математического анализа

1. Определение неопред. интеграла. Если ф-ия F(x) – первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], то мн-о ф-ий F(x)+C, где С =const, назыв неопред интегр от ф-и f(x) на этом промежутке: ∫f(x)dx=F(x)+C При этом ф-я f(x) назыв подынтегр ф-ей, f(x)dx – подынтегр выр-ем, х – переменной интегр-я.

2. Опред-ие первообр от непрерыв ф-ии. Ф-ия F(x) назыв первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], если для всех значений х из этого промежутка вып- я F’(x)=f(x). Если ф-ия f(x), хЄ[a,b] – непрерыв, то для нее сущ-ет первообразная (неопред. Интеграл)

4. Выр-ие (∫f(x)dx). Производная неопред интеграла = подынтегр ф-ии. (∫f(x)dx)’=f(x). Док-во: (∫f(x)dx)’= =(F(x)+C)’= F’(x)= f(x)dx

5. Выр. ∫dF(x) Неопред интеграл от дифф-ла некоторой ф-ии = сумме этой ф-ии и произвольной постоянной ∫dF(x)=F(x)+C.Так как ∫dF(x)= F’(x)dx, то ∫F’(x)dx=F(x)+C. Теорема: Если ф-я F(x) является первообр ф-ии f(x) на отрезке [a,b], то мн-во всех первообр ф-ии f(x) задается формулой F(x)+C, С=const.

Док-во: F(x)+C – первообр, тогда (F(x)+C)’= F’(x)+C’= F’(x)=f(x) Ф(х) – -тоже первообразная: Ф’(х)=f(x), xЄ[a,b]. (Ф(х)-F(x))’= Ф’(х)-F’(x)=f(x)- f(x)=0 =>Ф(х)-F(x)=C, С-const. Таким образом Ф(х)=F(x)+С. Ф-ия, производ которой на некотором промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежут-ке. φ’(x)=0 => φ(x)=C, для каждого хЄ[a,b], тогда для каждого х1,х2 Є [a,b], х1<х2. По теореме Лангранжа: φ(x2)- φ(x1)=0, φ(x)=С

6. Если k-const, ненулевое число, то ∫kf(x)dx=kf(x)dxk можно вынести из-под знака интеграла. Пусть F(x) – первообр для ф-ии f(x), т.е. F’(x)=f(x), тогда kF(x)-первообр для ф-ии kf(x): (kF(x))’=kF’(x)=kf(x). èk∫f(x)dx=k[C+(x)F]=kF(x)+C1=∫kf(x)dx, где С1=kC         7. Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то и ∫f(u)du= F(u)+C, u=φ(x) – произвольная ф-ия, непрерывн, дифферен-я. f(x)-непрерыв. => ∫f(x)dx=F(x)+C, u=φ(x)-непрерыв. дифферен.ф-я. F(u)=F(φ(x)) –согласно инвариантности первого дифф-ла. Инвариантность первого дифф-ла: y=f(x) dy=f’(x)dx y=f(u), u=φ(x)– непрерыв, диф-я dy=f’(x)du dF(u)=F’(u)du= =f(u)du ∫f(u)du=∫d(F(u))=F(u)+C

8. Выражение d(∫f(x)dx)=f(x)dx - Дифференциал от неопред интегр = подынтегр выр-ю. d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C) =dF(x)+dC=F’(x)dx+0=f(x)dx

9. Интеграл ∫[f(xg(x)]dx= ∫f(x)dx±∫g(x)dx –неопред интеграл от алгебраической суммы двух ф-ий равен алгебраической суммe интегр от этих

ф-ий в отдельности: Пусть F(x) и G(x) – первообразные для ф-ий f(x) и g(x): ∫[f(x)+g(x)]dx=∫(F’(x)+G’(x))dx=∫(F(x)+G(x))’dx=∫d(F(x)+G(x))= F(x)+G(x)+C= F(x)+G(x)+C1+C2=F(x)+C1+G(x)+C2 =∫f(x)dx+∫g(x)dx.

10. Вывод формулы замены переменного в неопред интегр (подстановка). Пусть ф-я x=φ(t) опред-на и диф-ма на некотором промежутке Т и Х-мн-во значений этой ф-ии, на кот. определена ф-я f(x). Тогда, если на мн-е Х ф-я f(x) имеет первообр, то на мн-ве Т справедлива фор-ла: ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ’(t)dt Док:Пусть F(x)-первообр для f(x) на мн-ве Х. Рассмотрим на мн-ве Т сложную ф-ю F[φ(t)]: (F[φ(t)])’= Fx’[φ(t)]φ’(t) =f[φ(t)]φ’(t), т.е. ф-я f[φ(t)]φ’(t) имеет на мн-ве Т первообр F[φ(t)] >∫f[φ(t)]φ’(t)dt=F[φ(t)]+C,Замечая что F[φ(t)]+C=F(x)+C= ∫f(x)dx, => получаем ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ’(t)dt.

Дарбу: Mn=sup (f(x)); mn=inf (f(x)), xÎ(xi-1; xi) Sρ=å Mn∆xi – верхний; Sρ=å mn ∆xi- нижний; СВ-ВА:

1, "верхняя сумма >=нижней; 2, при изменеии разбиения верхняя не увел, нижняя не умень.; 3, измельчение разбиения-добовлене нескольких точек 0=< Sρ-I<e -для верх и ниж - Лемма.

11. Вывод формулы интегрир по частям. Пусть ф-ии u(x) и v(x) определены и диф-мы нанекотором пром-ке Х и пусть ф-я u’(x)v(x) имеет первообр на этом пром-ке. Тогда на пром-ке Х ф-я u(x)v’(x) также имеет перво-ю и справедлива формула: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Док-во: [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+u(x)v’(x) è u(x)v’(x)=[u(x)v(x)]’-u’(x)v(x)Первообр ф-ии [u(x)v(x)]’ на пром-ке Х является ф-я u(x)v(x). Ф-я u’(x)v(x) имеет первообр на Х по условию теор. è, и ф-я u(x)v’(x) имеет пер-ю на Х.Интегр-уя последнее рав-во получаем: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Так как v’(x)dx=dv,u’(x)dx=du, то ее можно записать в виде: ∫udv=uv-∫vdu По лекциям: d(uv)=udv+vdu;∫d(uv)= ∫udv+vdu => ∫udv=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu Теорема о существовании конечного.

12. Определение дробно рациональной ф-ии. Понятие правильной и неправильной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида Pn(x)=anxn+ an-1xn-1 +…+ a1x1+ a0, n – натуральное число. ai, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-й (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отношению 2-х мн-нов: f(x)= Pm(x)/ Qn(x), Pm(x)-мн-eн степени m, Qn(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1) A/(x-a)

2) A/(x-a)k k>=2 целое

3) (Mx+n)/(x2+px+q) x2+px+q=0, D<0

4) (Mx+n)/(x2+px+q)k k>=2

предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий: Пусть сущ f.

13. Если х=а – действит корень кратности k знамен-ля Qn(x) прав-ой рацион дроби, т.е. Qn(x)=(х-а)k Õn-k(x) Тогда дробь будет представляться в виде суммы 2 правильных дробей: Pm(x)/Qn(x)=A/(х-а)k+Rs(x)/(х-а)k-1Õn-k(x) A-некоторая постоянная, s<n-1 Док-во: Pm(x)/Qn(x)=[A Õn-k(x)+ Pm(x)-A Qn-k(x)]/[(х-а)k Õn-k(x)]=[ A Õn-k(x)]/ [(х-а)k Õn-k(x)]+[ Pm(x)-A Qn-k(x)]/ [(х-а)k Õn-k(x)]=A/(х-а)k +[Pm(x)-A Qn-k(x)]/ [(х-а)k Õn-k(x)], для каждого А. х=а – корень ура-я Pm(x)- A Õn-k(x)=0; Pm(а)- A Õn-k(а)=0; Pm(а)≠0 и A Õn-k(а)≠0; A= Pm(а)/A Õn-k(а); Pm(x)- A Õn-k(x)=(x-a) Rs(x); Pm(x)/Qn(x)= A/(х-а)k +[(x-a) Rs(x)]/[(x-a) Õn-k(x)]= A/(х-а)k + Rs(x)/[(х-а)k-1 Õn-k(x)]; A= Pm(а)/Õn-1(а).

14. Если Qn(x)= (x2+px+q)µ Тn(x), где p2-4q<0, Тn(x) мн-ен не делится на x2+px+q, то правильную рацион дробь Pm(x)/Qn(x) можно представить в виде суммы 2 правильных: Pm(x)/Qn(x) =(Mx+N)/ (x2+px+q)µ +Фs(x)/[ (x2+px+q)µ-1. Тn-µ(x)],µ,N-нек постоянные, s<n-1 Док-во: Pm(x)/Qn(x) =[(Mx+N) Тn-µ(x)+ Pm(x)-(Mx+N) Тn-µ(x)]//(x2+px+q)µ Тn-µ(x)]= (Mx+N)/(x2+px+q)µ+ [Pm(x)-(Mx +N) Тn-µ(x)]/[ (x2+px+q)µ Тn-µ(x)] для люб µ и N. x2+px+q=0, D<0, x12=α±iβ, µ и N: Pm (α+iβ)-[ µ (α+iβ)+N]*T n-µ(α+iβ)=0. µ (α+iβ)+N=[ Pm (α+iβ)] /[ T n-µ(α+iβ)]=k+il. Система{ µ α+N =k=> N=k- α(L/b) µb=L=> m=L/b Pm(x)/Qn(x)=(Mx+N)/(x2+px+q)µ s(x)/[ (x2+px+q)µ-1Тn(x)] конечному пределу при ранге разбиения à 0.

15. Разложение рацион дроби на простейшие. Если рацион ф-я R(x)/Q(x) имеет степень мн-на в числ-ле < степени мн-на в знамен-ле, а мн-н Q(x) представлен в виде Q(x)= A(x-a)r(x-b)s…(x2+2px+q)t(x2+2ux+v)z …, где a,b,.., p,q,u,v,…-вещественные числа, то эту ф-ю можно единств образом представить в виде:R(x)/Q(x) =A1/(x-a)+A2/(x-a)2+…. An/(x-a)n+…. (M1x+N1) / (x2+2px+q)+ (M2x+N2)/ /(x2+2px+q)2+…+(Mkx+Nk)/(x2+2px+q)k +, где А1,А2,.М1..N1-вещест числа

16. Определение дробно рацион фун-ии. Понятие правильной и неправ-ной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида Pn(x)=anxn+ an-1xn-1 ++ a1x1+ a0, n – натуральное число. ai, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-uей (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отн-ю 2-х мн-нов: f(x)= Pm(x)/ Qn(x), Pm(x)-мн-eн степени m, Qn(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1)A/(x-a) 2)A/(x-a)k k>=2 целое

3)(Mx+n)/(x2+px+q) x2+px+q=0, D<0

4) (Mx+n)/(x2+px+q)k k>=2

17. Вычисление интегралов от тригонометрических ф-ий.

1) ∫R(sinx, cosx)dx Замена перем-ных tg(x/2)=t (универ. тригонометр замена) sinx=2t/(1+t2) cosx=(1-t2)/ /(1+t2) dx=2/(1+t2)dt;∫R(2t/(1+t2), (1-t2)/ /(1+t2)) 2/(1+t2)dt=∫Ř(t)dt

2)∫R(sinx) cosxdx=|sinx=t, cosxdx=dt|=∫R(t)dt

3)∫R sinx(cosx)dx=|cosx=t, -sinxdx=dt|=-∫R(t)dt

4) ∫R(tgx)dx=|t=tgx, x=arctgt, dx=dt/(1+t2)|= ∫R(t)dt/(1+t2)  5) R(sinx, cosx)= R(-sinx, -cosx)

∫R(sinx, cosx)dx=|t=tgx, dx = dt/(1+ t2)| =∫Ř(t)dt

6) ∫sin m x cos n xdx

a)m=2k+1 ∫sin 2k x cos n x sinxdx=∫(1-cos 2 x)k cos n x sinxdx=|t=cosx, dt=-sinxdx|=-∫(1-t 2)k t n dt

b)n=2k+1 ∫sin m x cos 2k x cosxdx= ∫sin m x (1-sin 2 x)k dsinx

7) ∫sin 2p x cos 2a xdx sin2x=(1-cos2x)/2

cos2x=(1+cos2x)/2 sinxcosx=(1/2)sin2x

8) m=-µ n=-ν замена t=tgx

1/ sin2x=1+ ctg2x 1/ cos2x=1+tg2x

9) ∫tg m x dx; ∫ctg m x dx, m-целое >0ое tg2x=1/ cos2x-1

сtg2x=1/ sin2x-1

10) ∫sinmxcosnxdx ∫sinmxsinnxdx

∫cosmxcosnxdx sinmxcosnx=(1/2)(sin(m+n)x+sin(m-n)x)

sinmxsinnx=(1/2)(cos(m-n)x-cos(m+n)x)

Теорема о существовании конечного предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий

Пусть существует f определенная на замкнутом интервале [a,b] => ее интегр суммы стремяться к конечному пределу при ранге разбиения à 0.

ax2+bx+c=a(x+b/2a)+(4ac-b2)/(4a2) x+b/2a=t; (ax+b)/(cx+d)=tk=>

ax+b= cx tk+ dtk=>x=…; dx=(…)dt

Замена переменной: ∫f(x)dx=|x= φ(t); t=g(x); dx= φ’(t)dt |=∫f(φ(t)) φ’(t)dt

Поднесение по знак дифф-ла: Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(n)dx=F(n)+C

интегрир по частям: ∫udv=uv-∫vdu

∫x sin x dx=|u=x; du=dx; dv=sin x dx; v= -cos x|=-xcos x-∫-cos xdx= -xcos x+sin x.

Ф-цию вида R(x,mÖ(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной ирр-тью. С помощью замены t=mÖ(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm= (ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm)/(ctm-a) –рацион ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)² Þ òR(x,mÖ(ax+b)/ (cx+d))dx=òR((b-dtm)/ (ctm-a),t) (mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)²= òR1(t)dt. R1(t)-рацион-ая. Вида òR(x,Öax²+bx+c)dx, -квадр-ая ирр-ть где а, b, c=const. Если трёхчлен ax²+bx+c имеет действит корни х1 х2 то ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,Öax²+bx+c)=R(x,(x-x1)Ö(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,Ö(x-x2)/(x-x1); пусть ax²+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=Ö(ax²+bx+c) +xÖa Þax²+bx+c=t²-2xtÖa+ax²; x=(t²-c)/2t(Öa)+b –рацион функ-ция от t Ч.Т.Д; Если а<0 с>0 (ax²+bx+c)>=0) то можно сделать замену Öax²+bx+c=xt+Öc {}{} Опред интеграл. Ограниченность интегрируемой ф-ии. {O}Разбиением t[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xit-1<xit{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] назыв отрезком разбиения t{} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и t произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) xiÎ[xi-1,xi] I=1,..,it и рассмотрим сумму st(f,x1,…,xit)= åI=1ixf(xI)Dx; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ò ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается aòbf(x)dx Если " E >0 $dE=d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|<dE и любом выборе (.) xiÎ[xi-1,xi], I=1,…,it | åI=1itf(xi)Dx-I | <E При этом пишут I=limst |t|®0. {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение t отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[xj0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последов-ть точек $ {xnjo}>0 | limn®¥f(xnjo)=¥ Рассмотрим сумму st=åI=1itf(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +åI=1itf(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xiÎ[xi-1,xi] i¹jo limst(f,x1,…,x0n,..,xit) =lim(f(xjo)Dxjo+B)=¥ m>0 существует n0 | st(f,x1,…,xjo(n),…,xit)>m Отсюда Þ, что интегр сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $ I=lim|t|®0stÞ "E>0 $dE>0 | "t, |t|<dE и любой выбор точек xi вып-ся нер-во |dt-I|<EÞ|dt|=|dt-I+I|<|dt-I|+|I| <E+|I|; M=E+|I| при любом разбиении t в частности при при |t|<dE можно выбрать точки x1,..,xit такие, что |st|>M Þф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д. Ф-ла Ньтона-Лейбница aòbf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|аb –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных. Þ (1) {Док-во} F(x)= aòxf(t)dt тогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b] $ F(x)=Ф(х)+С; aòxf(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то aòаf(t)dt=0 Þ 0=Ф(а)+СÞ С=-Ф(а)Þ aòxf(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.

18. Равномерная сх-сть ф-ых послед-стей и рядов. Признак Вейерштрасса. Ф-циональную посл-сть {fn)x)} x Î E наз. равномерно сходящейся ф-цией f на м-ж Е, если для Î e >0, сущ номер N, такой, что для " т х Î E и " n >N вып-ся: |fn(x)-f(x)|<e. Если м-ж {fn)x)} равномерно сх-ся на м-ж Е, то она и просто сх-ся в ф-ции f на м-ж. Е тогда пишут: fn à f.

наз. равномерно сх-ся рядом, если на м-ж Е равномерно сх-ся посл-сть его частичной суммы., т. е. равномерная сх-сть ряда означает:Sn(x) à f(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сх-ся, но всякий равномерно сх-ся – есть сх-ся Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сх-ти ряда): Если числовой ряд: (7), где a >=0 сх-ся и для " x Î E и " n = 1,2… если выполняется нер-во un(x)|<=an(8), ряд (9) наз абс-но и равномерно сх-ся на м-ж Е.

Док-ва:

Абсолютная сх-сть в каждой т. х следует из неравенства (8) и сх-ти ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.

Зафиксируем произвольное e >0 В силу сх-ти ряда (7) сущ. номера N, " n >N и вып. нерво . Следовательно: |S(x)-Sn(x)| = . Это означает, что Sn(x) à S(x) что означает равномерную сх-сть ряда..

19. Степенные ряды. Теорема Абеля. Степенным рядом наз ф-ный ряд вида: a0+a1x+a2x2+… + anxn = (1) xÎR членами которого Степенным рядом наз также ряд: a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2… + an(x-x0)n = (2) Степенной ряд (1) сх-ся абс-но по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т.е в этих случаях все кроме 1 равны 0. являются степенные ф-ции. Числа an Î R, наз коэффициентами ряда(1). Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.Т Абеля: 1Если степенной ряд (1) сх-ся в т. х0 ¹ 0, то он сх-ся абсолютно при любом х, для которого |x|<|x0|, Если степеннгой ряд (1) расх-ся в т. х0, то он расх-ся в любой т. х, для которой |x|>|x0|

20. Радиус сх-ти и интервал сх-ти степенного ряда. Рассмотрим степенной ряд: (1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сх-ти ряда (1) если для любого х такого, что |x|<R ряд (1) сх-ся, а для " х таких. что |x|>R ряд расх-ся интервалом сх-ти. Т1 Для всякого степенного ряда (1) сущ-ет радиус сх-ти R 0<=R<=+¥ при этом, если |x|<R, то в этой т. х ряд сх-ся абс-но. Если вместо х взять у = х-х0, то получится: интервал сх-ти: |x-x0<R| будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|<R, то ряд сх-ся в т. x абс-но иначе расх-ся. На концах интервала, т. е. при x = -R, x=+R для ряда (1) или x = x0-R, x=x0+R для ряда (3) вопрос о сх-ти решается индивидуально. У некоторых рядов интервал сх-ти может охватывать всю числовую прямую при R = +¥ или вырождаться в одну точку при R=0. Интервал на числовой оси состоящий из т. х для которых |x|<R, т. е. (-R, +R) наз. Т2 Если для степенного ряда (1) сущ-ет предел (конечный или бесконечный): , то радиус сх-ти будет равен этому пределу. Если сущ-ет предел степенного ряда, то радиус сх-ти равен 1/пределот ряда Если степенной ряд (1) имеет радиус сх-ти R>0, то на любом отрезке действительной оси вида |[-r,r] целиком лежащем внутри интервала сх-ти ряд (1) сх-ся равномерно.

На любом отрезке |x-x0|<=r сумма степенного ряда является непрерывной ф-цией.

Если ф-ция f(x) на интервале (x0-R, x0+R) является суммой ряда, то она дифференцируема на этом интервале и её производная f’(x) находится дифференцированием ряда. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд.

21. Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть(1) сх-ся при |x-x0|<R а его сумма является ф-лой f(x)= (2) В этом случае говорят, что ф-ция f(x) разложена в степенной ряд. (1). Т1 Если ф-ция f распространяется в некоторой окрестности т. х0 f(x)= , то  и справедлива формула: (15) Если в некоторой окрестности заданной точки ф-ция распадается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Пусть дествит. ф-ция f определена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой точке производные всех порядков, тогда ряд:(6) наз рядом Тейлора ф-ции f в т, х0        При х0=0 ряд Тейлора принимает вид:

(6’) и называется ряд Маклорена.

Ряд Тейлора может:

1 Расх-ся всюду, кроме х=х0

2 Сх-ся, но не к исходной ф-ции f(x), а к какой-нибудь другой.

3 Сх-ся к исходной ф-ции f(x)

Бесконечная дифференцируемость ф-ции f(x) в какой-то т. х0 является необходимым условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является достаточным. Для введения доп-ных условий треб. ф-ла Тейлора.

Т2 Если ф-ция f(x) (n+1) дифф-ма на интервале (x0-h, x0+h) h>0, то для всех x Î (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:

где остаток rn(x) можно записать:

(8)

(9)

Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) – формулой Лагранжа.

Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.

Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е " x Î U(x0) |f(n)(x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сх-ся в ф-ции f(x) для всех х из этой окрестности.

22. Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена). 1 Разложение ф-ции ех  ряд Маклорена. радиус сх-ти: R=¥ следовательно ряд абсолютно сх-ся на всей числовой прямой. Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена  сх-ся на всей числовой оси,  сх-ся на всей числовой оси, f(x) = (1+x)a  наз. биномиальный ряд с показ-ем a.

Разложение ф-ции ln(1+x)

сх-ся при –1<x<=1

5 Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена

сх-ся при -1<=x<=1.



© 2009 РЕФЕРАТЫ
рефераты