При осевом сжатии стержней, поперечные размеры которых малы по сравнению с длиной, может произойти потеря устойчивости стержня, т.е. стержень будет искривляться в плоскости наименьшей жесткости.

Наименьшее значение нагрузки, при которой прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой.

В случае, когда потеря устойчивости происходит при напряжениях, не превосходящих предела пропорциональности, критическая сила Pкр определяется по формуле Эйлера: Pкр = π2 · E · Уmin / (μ · l) 2

E – модуль продольной упругости материала стержня;

Уmin – минимальный осевой момент инерции поперечного сечения стержня;

μ – коэффициент приведения длины, который зависит от способа закрепления концов стержня;

l – длина стержня.

Если потеря устойчивости происходит при напряжениях, превосходящих предел пропорциональности, критическую силу вычисляют через критические напряжения σкр, которые определяют по формуле Ясинского:

σкр = a – b · λ

где a и b – коэффициенты, зависящие от материала стержня

(для стали a = 310 МПа, b = 1,4 МПа)

λ – гибкость стержня.

Практически применимость той или другой формулы для вычисления критической силы устанавливают сравнением гибкости стержня λ с предельной гибкостью для материала стержня λпред, которые определяются по формулам:

λ = μ · l / ίmin λпред = √ π2 · E / σпц

где σпц - предел пропорциональности материала стержня

ίmin - минимальный радиус инерции площади F поперечного сечения стержня, определяемый по формуле: ίmin = √ Уmin / F

Схема установки

a) схема установки

b) график нагрузка – прогиб

c) определение критической нагрузки

Состав установки

1. Верхняя траверса

2. Верхний зажим для закрепления стержня

3. Четыре стойки

4. Нижний зажим для закрепления стержня

5. Нижняя траверса

6. Индикатор

7. Динамометр

8. Силовой механизм

9. Стержень

10. Индикатор для измерения прогибов стержня

Данные о стержне при μ = 1 : l = 87 см, h = 5,1 мм, b = 4,05 см

Данные о стержне при μ = 0,7 : l = 84,25 см, h = 5,1 мм, b = 4,05 см

Результат измерений

μ = 1
Нагрузка P	мм	0	42		85		130		172
	Н	0	200		400		600		800
Прогиб fg, мм · 10 -2		92	111		145		191		354
μ = 0,7
Нагрузка P	мм	90		172		200		346		432
	Н	400		800		1200		1600		2000
Прогиб fg, мм · 10 -2		9		21		50		99		338

μ = 1 μ = 0,7

Вычисление теоретического значения Pкр

Для μ = 1

Уmin = b · h3 / 12 = 4,05 · 0,513 / 12 = 44,76 · 10-11 м4

F = b · h = 0,002 м2

ί2 = Уmin / F = 44,76 · 10-11 / 0,002 = 2,24 · 10-6 м2

ί min = 1,49 · 10-3 м

λ = μ · l / ίmin = 1 · 0,87 / 1,49 · 10-3 = 584

λпред = √ π2 · E / σпц = √10 · 2 · 1011 / 2 · 108 = 100

Т.к. λ > λпред то Pкр= π2 · E · Уmin / (μ · l) 2 =

= 10 · 2 · 1011 · 44,76 · 10-11 / (1 · 0,87)2 = 1182,7 H

Для μ = 0,7

Уmin = b · h3 / 12 = 4,05 · 0,513 / 12 = 44,76 · 10-11 м4

F = b · h = 0,002 м2

ί2 = Уmin / F = 44,76 · 10-11 / 0,002 = 2,24 · 10-6 м2

ί min = 1,49 · 10-3 м

λ = μ · l / ίmin = 0,7 · 0,8425 / 1,49 · 10-3 = 395

λпред = √ π2 · E / σпц = √10 · 2 · 1011 / 2 · 108 = 100

Т.к. λ > λпред то Pкр= π2 · E · Уmin / (μ · l) 2 =

= 10 · 2 · 1011 · 44,76 · 10-11 / (0,7 · 0,8425)2 = 2560 H

Расчет погрешности измерений

Δ1 = Pкртеор – Pкропыт / Pкртеор = 1182,7 – 1045 / 1182,7 = 11,6 %

Δ2 = Pкртеор – Pкропыт / Pкртеор = 2560 – 2240 / 2560 = 12,5 %

Результаты определения критической силы

Схема закрепления	Значение Pкр, H		Расхождение, %
Схема закрепления	опытное	теоретическое	Расхождение, %
μ = 1	1045	1182,7	11,6
μ = 0,7	2240	2560	12,5

Вывод

В ходе лабораторной работы мы определили критическую силу Pкр для центрального сжатого стержня и пределов применения расчетных формул. В процессе вычислений было выяснено, что для нахождения критической силы нужно использовать формулу Эйлера. Расчеты показали следующие значения: при μ = 1 Pкртеор = 1182,7 Н, при μ = 0,7 Pкртеор = 2560 Н; по графику видно, что при μ = 1 Pкропыт = 1045 Н, при μ = 0,7 Pкропыт = 2240 Н. Полученная ошибка (11,6% и 12,5%) объясняется погрешностью лабораторной установки, снятием показаний приборов и неточностью расчетов.