рефераты
рефераты
Главная
Рефераты по рекламе
Рефераты по физике
Рефераты по философии
Рефераты по финансам
Рефераты по химии
Рефераты по цифровым устройствам
Рефераты по экологическому праву
Рефераты по экономико-математическому моделированию
Рефераты по экономической географии
Рефераты по экономической теории
Рефераты по этике
Рефераты по юриспруденции
Рефераты по языковедению
Рефераты по юридическим наукам
Рефераты по истории
Рефераты по компьютерным наукам
Рефераты по медицинским наукам
Рефераты по финансовым наукам
Психология и педагогика
Промышленность производство
Биология и химия
Языкознание филология
Издательское дело и полиграфия
Рефераты по краеведению и этнографии
Рефераты по религии и мифологии
Рефераты по медицине
Рефераты по сексологии
Рефераты по информатике программированию
Рефераты по биологии
Рефераты по экономике
Рефераты по москвоведению
Рефераты по экологии
Рефераты по физкультуре и спорту
Топики по английскому языку
Рефераты по математике
Рефераты по музыке
Остальные рефераты
Рефераты по авиации и космонавтике
Рефераты по административному праву
Рефераты по безопасности жизнедеятельности
Рефераты по арбитражному процессу
Рефераты по архитектуре
Рефераты по астрономии
Рефераты по банковскому делу
Рефераты по биржевому делу
Рефераты по ботанике и сельскому хозяйству
Рефераты по бухгалтерскому учету и аудиту
Рефераты по валютным отношениям
Рефераты по ветеринарии
Рефераты для военной кафедры
Рефераты по географии
Рефераты по геодезии
Рефераты по геологии
Рефераты по геополитике
Рефераты по государству и праву
Рефераты по гражданскому праву и процессу
Рефераты по делопроизводству
Рефераты по кредитованию
Рефераты по естествознанию
Рефераты по истории техники
Рефераты по журналистике
Рефераты по зоологии
Рефераты по инвестициям
Рефераты по информатике
Исторические личности
Рефераты по кибернетике
Рефераты по коммуникации и связи
Рефераты по косметологии
Рефераты по криминалистике
Рефераты по криминологии
Рефераты по науке и технике
Рефераты по кулинарии
Рефераты по культурологии
Рефераты по зарубежной литературе
Рефераты по логике
Рефераты по логистике
Рефераты по маркетингу
Рефераты по международному публичному праву
Рефераты по международному частному праву
Рефераты по международным отношениям
Рефераты по культуре и искусству
Рефераты по менеджменту
Рефераты по металлургии
Рефераты по налогообложению
Рефераты по педагогике
Рефераты по политологии
Рефераты по праву
Биографии
Рефераты по предпринимательству
Рефераты по психологии
Рефераты по радиоэлектронике
Рефераты по риторике
Рефераты по социологии
Рефераты по статистике
Рефераты по страхованию
Рефераты по строительству
Рефераты по схемотехнике
Рефераты по таможенной системе
Сочинения по литературе и русскому языку
Рефераты по теории государства и права
Рефераты по теории организации
Рефераты по теплотехнике
Рефераты по технологии
Рефераты по товароведению
Рефераты по транспорту
Рефераты по трудовому праву
Рефераты по туризму
Рефераты по уголовному праву и процессу
Рефераты по управлению

Курсовая работа: Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса


Курсовая работа: Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.

Курсовая работа

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-31

Зелюткина В.И.

Научный руководитель: профессор,

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры алгебры и геометрии

Монахов В.С.

Гомель 2005


Содержание

Введение

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса

Заключение

Список литературы


Введение

Данная курсовая работа представлена в виде трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Здесь представлены:

A. Пусть  - конечная группа и . Тогда и только тогда в группе  все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:

1)  - 2-группа;

2)  - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где  - показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;

3) .

1.  - наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы  также принадлежит .

2. , то ----свободна.

3.  и  не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в  элементарная абелева или типа .

4.  - разрешимая группа и , то 2-длина группы  не превосходит 1.

5.  - разрешимая группа и . Если  и силовская 2-подгруппа  из  неабелева, то центр  совпадает с центром .

6.  - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда  - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где  - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы .

Лемма 7.  и  - простая неабелева группа, то .

8.  и , то .

9.  для .

Во второй - конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1)  или , где  - 5-группа;

2) , где  - 3-группа.

C.  - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда  бипримарна, и  - дисперсивная группа порядка , где .

1.  конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы  каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

2.  - конечная группа и  - простое число, делящее порядок . Если в  нет -замкнутых подгрупп Шмидта, то  -нильпотентна.

3.  - сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой  и циклической силовской -подгруппой , то .

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

6. группа порядка , где  и  - простые числа,  и  не делит , нильпотентна.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

8.  - подгруппа примарного индекса  конечной группы , то .

9.  - группа порядка , где  и  - простые числа,  и . Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда  либо -группа, либо группа Шмидта , где  - элементарная абелева, или группа кватернионов.

10.  - группа порядка , где  и  - простые числа,  и . Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа  либо -группа, либо изоморфна  и  делит .

Третий посвящен неразрешимым группам с заданными подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

D. класс  замкнут относительно прямых произведений и  разрешим. Если в конечной неразрешимой группе  нет неединичных нормальных -подгрупп, то  изоморфна одной из следующих групп:  и  - простое число или 9;  или  и .

1. конечная неразрешимая группа  принадлежит , то , где , а  и .

2. класс  замкнут относительно прямых произведений, и  - неразрешимая группа, принадлежащая . Если  - минимальная нормальная в  подгруппа, то либо , либо  - простая неабелева группа,  и , где .

3. класс  разрешим и  - простая неабелева группа из , то:

1) , ,  и  или  - простое число;

2) ,  и  - простое число;

3) , , ;

4) ,  или ,  или  соответственно.

В каждом параграфе подробно изучена соответствующая тема с теоремами леммами и доказательствами последних.


1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

Строение конечных минимальных несверхразрешимых групп хорошо известно. В частности, они дисперсивны и их порядки делятся не более чем на три различных простых числа. Если условие сверхразрешимости накладывать не на все подгруппы, а только на некоторые, то возникают недисперсивные и даже неразрешимые группы. В описаны конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. В настоящей заметке исследуется строение конечных групп со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Доказывается следующая

A. Пусть  - конечная группа и . Тогда и только тогда в группе  все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:

1)  - 2-группа;

2)  - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где  - показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;

3) .

Здесь  - центр группы ,  - наибольшая нормальная в  подгруппа нечетного порядка. Через  обозначим класс конечных групп, у которых все подгруппы четного индекса сверхразрешимы.

1.  - наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы  также принадлежит  осуществляется проверкой.

Отметим, что знакопеременная группа, но  не содержится в . Поэтому  не является формацией и не является классом Фиттинга.

Через  обозначается симметрическая группа степени 4. Конечная группа  называется -свободной, если в ней нет подгрупп  и  таких, что  нормальна в  и  изоморфна .

2. , то ----свободна.

. Допустим противное, т.е. предположим, что существует секция , изоморфная . Тогда существует подгруппа  индекса 2 в  и  изоморфна . Так как  несверхразрешима, то  - несверхразрешимая подгруппа четного в  индекса. Противоречие. Лемма доказана.

Конечная группа называется 2-нильпотентной, если в ней существует нормальное дополнение к силовской 2-подгруппе. Полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы  обозначается через .

3.  и  не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в  элементарная абелева или типа .

Если  не 2-нильпотентна, то в  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , см. , с. 192. Так как  несверхразрешима, то индекс  в группе  нечетен, и  - силовская 2-подгруппа из . Из свойств подгрупп Шмидта следует, что  элементарная абелева или типа .

4.  - разрешимая группа и , то 2-длина группы  не превосходит 1.

следует из леммы 3 и леммы 3.4 из .

5.  - разрешимая группа и . Если  и силовская 2-подгруппа  из  неабелева, то центр  совпадает с центром .

Если G - 2-группа, то лемма справедлива.

Пусть  не 2-группа. По лемме 4 подгруппа  нормальна в . Через  обозначим -холловскую подгруппу из . Так как  имеет четный индекс, то  сверхразрешима и . Теперь  содержится в центре , а поскольку , то  - 2-группа. Группа  не является 2-нильпотентной, поэтому существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку  не 2-нильпотентна, то индекс  нечетен и  - силовская 2-подгруппа из . Следовательно,  содержится в  и по лемме 2.2 получаем, что  содержится в . Лемма доказана.

6.  - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда  - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где  - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы .

Пусть  - разрешимая группа,  и . Из лемм 3,4 и 5 получаем, что силовская 2-подгруппа  нормальна в  и является элементарной абелевой подгруппой. Так как  - не 2-группа, то в  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где  - силовская 2-подгруппа из . Подгруппа  несверхразрешима, поэтому ее индекс нечетен и  силовская в . Из свойств групп Шмидта следует, что  - минимальная нормальная в  подгруппа порядка , и  - показатель 2 по модулю , где  делит . Поэтому  - минимальная нормальная в  подгруппа.

Централизатор  содержит  и нормален в , поэтому  и . Значит  самоцентрализуема.

Пусть  - -холловская подгруппа в . Тогда  - максимальная в  подгруппа и  совпадает со своим нормализатором. Предположим, что существует неединичный элемент  в  такой, что  не содержится в . Так как  и  содержится в , то  и . Пусть . Тогда , а по теореме Машке в  существует подгруппа  такая, что  и  допустима относительно , т.е. . Но индекс подгруппы  четен поэтому эта подгруппа сверхразрешима и . Теперь  централизует всю силовскую подгруппу , противоречие.

Следовательно,  содержится в  для всех неединичных элементов  из  и  - группа Фробениуса с ядром , см. , с.630.

Пусть  - произвольный нечетный делитель порядка группы , и пусть  - -холловская подгруппа из . Так как  самоцентрализуема, то  не 2-нильпотентна и в  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку  не 2-нильпотентна, то ее индекс нечетен и  - элементарная абелева подгруппа порядка . Из свойств групп Шмидта следует, что  - показатель 2 по модулю . Необходимость доказана.

Обратно, пусть  - группа Фробениуса, ядро которой  - минимальная нормальная в  подгруппа порядка  где  - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка . Пусть  - произвольная подгруппа из . Тогда либо , либо , либо , либо  - группа Фробениуса с ядром . Если , то индекс  нечетен. Если  или , то  2-нильпотентна. Пусть  - группа Фробениуса и  не содержится в . Поскольку  не 2-нильпотентна, то в  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где  - нормальная в  силовская подгруппа порядка , а  - циклическая -подгруппа. Так как  - элементарная абелева, то из свойств группы Шмидта вытекает, что  - показатель 2 по модулю , значит  и , т.е. . Лемма доказана полностью.

Следствие. Пусть  - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда каждая подгруппа из  четного индекса является 2-подгруппой или группой нечетного порядка.

1. Пусть  - элементарная абелева группа порядка . В группе ее автоморфизмов  существует самоцентрализуемая циклическая подгруппа  порядка  см. , с.187. Число 11 является показателем 2 по модулю 23 и по модулю 89. Поэтому в классе  существует группа Фробениуса, удовлетворяющая заключению леммы, и не являющаяся группой Шмидта.

Лемма 7.  и  - простая неабелева группа, то .

Если силовская 2-подгруппа в  типа  то  по теореме из . Но в этой группе есть несверхразрешимая подгруппа четного индекса в нормализаторе силовской 2-подгруппы. По лемме 3 силовская 2-подгруппа в  элементарная абелева. В группах Янко и Ри есть неразрешимые подгруппы четного индекса в централизаторах инволюций.

Рассмотрим группу , где  и . Если , то  - несверхразрешимая подгруппа четного индекса. Следовательно, . В  силовская 2-подгруппа имеет порядок 4 и несверхразрешимые подгруппы изоморфны знакопеременным группам  и .

Рассмотрим . Если  не простое, то  содержит подгруппу , , четного индекса, которая несверхразрешима. Значит,  - простое. Несверхразрешимыми в  являются только нормализаторы силовских 2-подгрупп.

Из теоремы Уолтера следует, что других простых групп, кроме рассмотренных, нет.

Через  обозначим разрешимый радикал группы .

8.  и , то .

Пусть  - минимальная нормальная в  подгруппа. Тогда . Если , то индекс  в  четен и  должна быть сверхразрешимой. Противоречие. Поэтому  - простая подгруппа и  изоморфна  или . Теперь  нечетен,  и  - подгруппа из .

Если , то , поэтому .

Пусть ,  - простое. Так как  - циклическая группа порядка , то  либо совпадает с , либо G совпадает с . Пусть  и  - подгруппа из N порожденная инволюцией. Так как внешний автоморфизм  группы  централизует , см. , с.317, то по теореме Машке в силовской 2-подгруппе  группы  есть подгруппа  индекса 2 в , допустимая относительно . Теперь - - не 2-нильпотентная подгруппа четного индекса в  и  не принадлежит .

9.  для .

Пусть  - подгруппа четного индекса в группе , где , и пусть  - центральная инволюция в . Если , то  - подгруппа в  четного индекса. Так как , то  сверхразрешима, поэтому и  сверхразрешима.

Пусть  не принадлежит . Тогда . Допустим, что  несверхразрешима. Так как  - подгруппа из , то из доказательства леммы 7 следует, что  изоморфна  или . Но теперь силовская 2-подгруппа в  элементарная абелева, противоречие.

теоремы. Достаточность вытекает из лемм 6-9. Докажем необходимость. Пусть вначале  - разрешимая группа,  и . Если  - не 2-группа, то легко проверить, что  и по лемме 6 группа  из пункта 2 теоремы.

Пусть  неразрешима. Если , то по лемме 8 теорема верна. Пусть . Если  разрешима, то разрешима и группа , противоречие. Следовательно, подгруппа  имеет четный индекс в группе . Так как  сверхразрешима и , то  - 2-группа, отличная от силовской 2-подгруппы. Пусть  - централизатор подгруппы  в группе .

Для каждого нечетного простого  подгруппа  имеет четный индекс, поэтому сверхразрешима и 2-нильпотентна. Поэтому  для всех нечетных  и индекс  в группе  четен или равен 1. Если , то в  есть нормальная подгруппа нечетного порядка, противоречие. Значит,  и  содержится в центре .

Если , то  - квазипростая группа и  не изоморфна . Так как , то по лемме 8 группа  изоморфна  или . Теперь по теореме из , с.646 группа  изоморфна  или .

Пусть  - собственная в  подгруппа. Тогда  имеет нечетный индекс и . Так как  - собственная в  подгруппа, то из леммы 8 получаем, что  изоморфна , a  изоморфна . Противоречие. Теорема доказана полностью.


2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса

Задача С.Н. Черникова об описании конечных групп, у которых подгруппы непримарного индекса нильпотентны, решена в 1975 г. С.С. Левищенко. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов рассматривались А.В. Сидоровым.

В настоящей статье изучаются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Доказаны следующие две теоремы.

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1)  или , где  - 5-группа;

2) , где  - 3-группа.

C.  - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда  бипримарна, и  - дисперсивная группа порядка , где .

Далее, если , то

и  делит . Если , то

группа Шмидта, и Q - элементарная абелева группа или группа кватернионов.

Здесь  - наибольшая нормальная в  -подгруппа;  - подгруппа Фиттинга группы ;  - циклическая группа порядка .

1.  конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы  каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

Осуществляется непосредственной проверкой.

Группа  называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа нормальна, и -нильпотентной, если в ней имеется нормальное дополнение к силовской -подгруппе. Свойства групп Шмидта хорошо известны.

2.  - конечная группа и  - простое число, делящее порядок . Если в  нет -замкнутых подгрупп Шмидта, то  -нильпотентна.

Если  - собственная подгруппа в группе , то  удовлетворяет условию леммы, по индукции подгруппа  -нильпотентна. Теперь группа  либо -нильпотентна, либо -замкнутая группа Шмидта (см. , с. 192). Последнее исключается условием леммы.

3.  - сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой  и циклической силовской -подгруппой , то .

Все главные факторы сверхразрешимой группы имеют простые порядки. Так как  - главный фактор, то

Определения дисперсивных групп см. в , с.251. Конечная группа называется трипримарной, если ее порядок делится точно на три различных простых числа.

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

Пусть в конечной группе  все подгруппы Шмидта сверхразрешимы и  - наименьшее простое число, делящее порядок . По лемме 3 в группе  нет -замкнутых подгрупп Шмидта, поэтому  -нильпотентна по лемме 2. По индукции нормальное -дополнение в  дисперсивно по Оре, поэтому и вся группа дисперсивна по Оре.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

Пусть  - недисперсивная группа. По лемме 4 в ней имеется несверхразрешимая подгруппа , которая является группой Шмидта. Так как  бипримарна, а индекс  в группе  по условию леммы примарен, то группа  либо бипримарна, либо трипримарна.

6. группа порядка , где  и  - простые числа,  и  не делит , нильпотентна.

Пусть  - рассматриваемая группа. Так как  сверхразрешима и , то в  имеется нормальная подгруппа  порядка . Теперь  изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы , которая является циклической порядка . Поскольку  не делит , то силовская -подгруппа  из  содержится в . Теперь  лежит в центре . Факторгруппа  нильпотентна по индукции, значит, нильпотентна и .

теоремы B. Пусть  - конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По лемме 2 в группе  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где  - нормальная силовская 2-подгруппа из ; подгруппа  - циклическая. Поскольку  не является сверхразрешимой группой, то ее индекс примарен, т.е. , где  - простое число. Теперь  для силовской -подгруппы из  и  является холловской подгруппой в .

По теореме 2.1 подгруппа  содержит нормальную в группе  подгруппу  такую, что факторгруппа  изоморфна

В факторгруппе  по лемме 1 несверхразрешимыми могут быть только подгруппы примарных индексов. В  и  имеется несверхразрешимая подгруппа, изоморфная знакопеременной группе  степени 4, индекса 14 и 24 соответственно. Поэтому эти группы исключаются.

В  внешний автоморфизм нормализует силовскую 2-подгруппу, но не централизует ее. Поэтому в  имеется несверхразрешимая подгруппа порядка 24 и индекса , в связи с чем данная группа также исключается.

Пусть  изоморфна . Группа  допускает единственную факторизацию в виде группы Шмидта и примарной группы, а именно:  (см. , с.73). Поэтому  - 5-группа,  изоморфна  и  имеет порядок 5.

Предположим вначале, что  - неабелева группа. Через  обозначим центр . По индукции факторгруппа  изоморфна

Где

Поскольку  - собственная в  подгруппа, то по индукции

Теперь . Подгруппа  характеристична в , a  нормальна в . Поэтому  нормальна в . Из простоты  следует, что . Значит, , где . Л Пусть теперь  - абелева группа. Так как подгруппа  имеет индекс 20 в группе , то  - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому  и , т.е.  лежит в центре .

Если , то группа  квазипроста, и  или  по , c.646. Но в этом случае . Значит, коммутант  - собственная в  подгруппа. По индукции

Так как

то . По свойству коммутантов . Следовательно,

Случай  рассмотрен полностью.

Пусть  изоморфна . Группа  допускает единственную факторизацию в виде групп Шмидта, и примарной группы, а именно: . Поэтому  - 5-группа,  изоморфна , и  имеет порядок 5.

Предположим вначале, что  - неабелева группа, и пусть  - центр . По индукции фактор-группа  изоморфна

Поскольку  - собственная в  подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа  характеристична в , а подгруппа  нормальна в , поэтому  нормальна в . Кроме того,

Следовательно, , где .

Пусть теперь  - абелева группа. Так как  имеет индекс 40 в группе , то  - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому  и  нормальная в  подгруппа порядка, делящегося на 3. Значит,  и  лежит в центре . Теперь

и для инволюции  подгруппа  нормальна в . Следовательно,

и факторгруппа  проста.

Если , то группа  квазипроста, и  по , с.646. Но в этом случае .

Пусть коммутант  - собственная в  подгруппа. По индукции , где  изоморфна  или , а

Так как

то . По свойству коммутантов , значит,

Так как , то подгруппа  изоморфна  и не изоморфна .

Осталось рассмотреть случай . Группа  допускает единственную факторизацию в виде подгруппы Шмидта и примарной подгруппы, а именно: . Поэтому  - 3-группа,  изоморфна  и  - циклическая группа порядка 9.

Предположим вначале, что  - неабелева группа. Через  обозначим центр . По индукции факторгруппа  изоморфна , где

Поскольку  - собственная в  подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа  характеристична, в  а подгруппа  нормальна в . Поэтому  нормальна в . Из простоты  следует, что . Следовательно, , где .

Пусть теперь  - абелева группа. Так как подгруппа  имеет индекс 72, то она сверхразрешима. Но , где  - подгруппа порядка 7, а  - 3-группа. Отсюда следует, что  нильпотентна и абелева, а поэтому , т.е.  лежит в центре .

Если , то группа  квазипроста, и  по , с.646. В этом случае .

Значит, коммутант  - собственная в  подгруппа. По индукции

Где

Так как

По свойству коммутантов . Следовательно,

где .

Теорема 1 доказана.

Перейдем теперь к изучению разрешимых групп, у которых несверхразрешимые подгруппы имеют примарные индексы. В силу леммы 5 такие недисперсивные группы не более чем трипримарны.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

Пусть  - разрешимая группа порядка , где  - различные простые числа, и пусть каждая подгруппа непримарного индекса из  сверхразрешима. Предположим, что  -нильпотентна. Тогда холловская -подгруппа  нормальна в . Если  сверхразрешима, то  дисперсивна. Если  несверхразрешима, то все собственные подгруппы из  имеют в группе  непримарные индексы. Поэтому  - минимальная несверхразрешимая группа. Теперь  дисперсивна, поэтому дисперсивна и .

Если группа  содержит нормальную силовскую -подгруппу , то , где  - холловская -подгруппа. Так как  дисперсивна, то дисперсивна и . Противоречие.

Пусть теперь группа  не обладает нормальным дополнением ни к одной силовской подгруппе и ни одна силовская подгруппа из  не нормальна в . Предположим, что . Так как  не -нильпотентна, то в  имеется -замкнутая подгруппа Шмидта , где  - некоторая -группа, и  или . Из минимальности  по лемме 3 получаем, что  несверхразрешима, поэтому ее индекс примарен, и , где  - примарная подгруппа. Ввиду леммы VI.4.7 подгруппу  можно выбрать так, что  - холловская -подгруппа в группе . Если  нормальна в , то  - нормальная в  холловская подгруппа. Так как  либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, то  - дисперсивна, поэтому дисперсивна и . Противоречие.

Следовательно,  не нормальна в  и подгруппа  не -нильпотентна. Так как  дисперсивна, то  нормальна в . По лемме 2 в группе  имеется -замкнутая подгруппа Шмидта . Но  циклическая, поэтому  - простое число и по лемме 3 подгруппа  сверхразрешима и  есть -группа. Значит, , где  - силовская -подгруппа в , a  - силовская -подгруппа.

Рассмотрим подгруппу . Она дисперсивна. Если  нормальна в , то  дисперсивна. Противоречие. Значит,  нормальна в .

Итак, в группе  холловские подгруппы имеют строение:  сверхразрешима с циклической силовской -подгруппой ;  с силовской -подгруппой шмидтовского типа;  - подгруппа Шмидта.

В разрешимой группе  имеется нормальная подгруппа  простого индекса. Пусть . Если  бипримарна или примарна, то  дисперсивна. Пусть  трипримарна. По индукции  дисперсивна, а так как в  нет нормальных силовских подгрупп, то .

Если  и , то  нильпотентна как подгруппа группы Шмидта  и  нормальна в . Если  и , то

также нильпотентна, и  нормальна в .

Итак, при  в  имеется нормальная силовская подгруппа. Противоречие.

Пусть . Если , то

нильпотентна и  нормальна в . Пусть . Тогда

Теперь  нормальна, в . Если , то  и  нормальна в . Если , то  - собственная подгруппа в группе Шмидта . Поэтому  нильпотентна, и

т.е.  нормальна в . Противоречие.

Осталось рассмотреть случай . Так как  нормальна в , и  циклическая, то в  имеется нормальная подгруппа  порядка . Теперь  - абелева группа порядка, делящего . и в случае  в группе  имеется нормальная подгруппа простого индекса, отличного от . Но эта ситуация уже рассмотрена. Если , то к фактор-группе  применима индукция, по которой  дисперсивна. Так как  - подгруппа из центра , то и вся группа  дисперсивна.

Лемма 7 доказана полностью.

8.  - подгруппа примарного индекса  конечной группы , то .

Пусть  - силовская -подгруппа группы , содержащая -подгруппу . Так как , то . Теперь для любого элемента , где , , получаем

и  - -группа.

9.  - группа порядка , где  и  - простые числа,  и . Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда  либо -группа, либо группа Шмидта , где  - элементарная абелева, или группа кватернионов.

Пусть  не является силовской в  подгруппой и  - силовская в  -подгруппа. Тогда  - подгруппа непримарного индекса для каждой максимальной в  подгруппы . По условию  сверхразрешима, поэтому ее коммутант нильпотентен и

т.е.  и  абелева. Итак, в силовской -подгруппе из  все собственные подгруппы абелевы.

Так как  не -нильпотентна, то в ней имеется -замкнутая подгруппа Шмидта . Эта подгруппа несверхразрешима по лемме 3, поэтому ее индекс примарен. Если , то силовская -подгруппа  в  циклическая, а так как , то  нормальна в . Противоречие.

Следовательно,

По лемме 8 подгруппа  максимальна в .

Если  - абелева, то  - элементарная абелева группа порядка  и  - показатель числа  по модулю .

Пусть  - неабелева группа. Так как  сопряжена , то все собственные в  подгруппы абелевы, т.е.  - группа Миллера-Морено. Если  - неабелева группа, порядка  и экспоненты , то из свойств групп Шмидта следует, что  делит . Так как , то , . Но группы экспоненты 2 абелевы, противоречие. Следовательно,  - группа кватернионов порядка 8 и .

Факторгруппа  - q-замкнута по лемме 3.2 , поэтому в  каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Поскольку , то из следует, что  имеет простой порядок, а так как  не входит в , то

есть группа Шмидта.

10.  - группа порядка , где  и  - простые числа,  и . Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа  либо -группа, либо изоморфна  и  делит .

Так как , то группа  не -нильпотентна, поэтому в ней существует -замкнутая подгруппа Шмидта . По лемме 3 подгруппа  несверхразрешима а по условию леммы ее индекс примарен.

Если , то  - силовская -подгруппа группы , и  нормальна в  по лемме 3.2 . Поэтому  и  - -группа.

Пусть . Тогда  - циклическая силовская -подгруппа группы . Будем считать, что  не -замкнута, т.е.  не является силовской в  подгруппой. Для максимальной в  подгруппы  индекс подгруппы , бипримарен, поэтому  сверхразрешима. Так как , то  нормальна в  и

Таким образом,  и  группа порядка, .

Теперь факторгруппа  обладает нормальной силовской -подгруппой  порядка . Итак, , где  - силовская -подгруппа в . Так как  нормальна в , а в  нет неединичных нормальных -подгрупп, то  и  изоморфна подгруппе группы автоморфизмов циклической группы  порядка . Поэтому  - циклическая группа порядка  и  делит .

теоремы C. Пусть  - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По леммам 5 и 8 группа  бипримарна. Пусть , где  и  - простые числа и . Если  - примарная группа, то из лемм 9 и 10 следует, что  - дисперсивная группа порядка .

Пусть  - бипримарная группа. Так как группа  не -нильпотентна, то в  существует -замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку , то подгруппа  несверхразрешима по лемме 3, поэтому имеет в  примарный индекс. Если , то  - циклическая силовская -подгруппа группы , и группа  имеет единичную -длину. Поэтому  -замкнута, а значит -замкнута и . Для максимальной подгруппы  из  подгруппа  имеет в  непримарный индекс, поэтому  сверхразрешима, а поскольку , то  нормальна в

Из -замкнутости  следует, что  нормальна в , поскольку  - циклическая подгруппа, то  нормальна в . Так как  не нормальна в , то , и  имеет порядок .

Пусть теперь . Тогда  - силовская -подгруппа группы , и группа  имеет единичную -длину по лемме 3.2 . Поэтому  -замкнута, а по лемме 8 максимальная подгруппа  из  содержится в . Так как , то по свойствам групп Шмидта

Первое исключается тем, что  недисперсивна. Теперь  - -замкнутая группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Пусть . Так как в  имеется группа Шмидта , то  ненильпотентна, и  не является силовской в . Значит, подгруппа  имеет в  непримарный индекс, и по условию теоремы  сверхразрешима. Так как  нормальна в , то  нормальна в , поэтому  содержится в . Следовательно,  и в . Теперь из следует, что силовская -подгруппа в  имеет простой порядок.

Итак, в любом случае  - дисперсивная группа порядка . Последние два утверждения теоремы 2 вытекают из лемм 9 и 10.

Теорема доказана.


3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса

Пусть  - некоторый класс конечных групп. Через  обозначается совокупность минимальных не -групп, а через  - множество всех тех конечных групп, у которых каждая подгруппа непримарного индекса принадлежит . Ясно, что  наследственный класс и . В настоящей заметке доказывается следующая

D. класс  замкнут относительно прямых произведений и  разрешим. Если в конечной неразрешимой группе  нет неединичных нормальных -подгрупп, то  изоморфна одной из следующих групп:  и  - простое число или 9;  или  и .

Формации  и  нильпотентных и сверхразрешимых групп удовлетворяют условиям теоремы. Но класс  разрешим , а для класса  теоремы получается описание конечных неразрешимых групп, у которых все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы .

Все обозначения и определения общепринятые, их можно найти в .

1. конечная неразрешимая группа  принадлежит , то , где , а  и .

Если , то в качестве подгруппы  можно выбрать всю группу , а подгруппа  будет единичной. Пусть  и пусть  - собственная в  подгруппа, которая является минимальной не -группой. По условию ,  - простое число. Теперь для силовской -подгруппы  из  получаем, что . Из неразрешимости  следует, что  непримарна и .

2. класс  замкнут относительно прямых произведений, и  - неразрешимая группа, принадлежащая . Если  - минимальная нормальная в  подгруппа, то либо , либо  - простая неабелева группа,  и , где .

Пусть минимальная нормальная в  подгруппа  не принадлежит . Так как , то индекс ,  - простое число. Теперь  неразрешима и является прямым произведением изоморфных простых неабелевых групп:  Поскольку  замкнут относительно прямых произведений, то  не принадлежит  и индекс  в группе  должен быть примарным. Поэтому  - простая неабелева группа.

Централизатор  нормален в  и . Поэтому , а так как индекс  непримарен, то .

3. класс  разрешим и  - простая неабелева группа из , то:

1) , ,  и  или  - простое число;

2) ,  и  - простое число;

3) , , ;

4) ,  или ,  или  соответственно.

Здесь  и  - подгруппы, зафиксированные в лемме 1. , ,  - циклическая, элементарная абелева, диэдральная группы порядка ,  - симметрическая груша степени 4.

По лемме 1 простая группа , где , а . Опираясь на классификацию конечных простых групп, Гуральник перечислил все простые группы с подгруппой примарного индекса. Учитывая разрешимость подгруппы  из этого списка, получаем утверждение нашей леммы.

Теоремы D. Пусть  - минимальная нормальная в  подгруппа. По лемме 2 подгруппа  простая,  и

Так как  не принадлежит , то существует подгруппа , . Теперь , где ,  и . Так как  разрешима, то по лемме 3 подгруппа  изоморфна одной из четырех серий групп.

Пусть  и  простое число или 9. Предположим, что  - собственная в  подгруппа. Так как  - циклическая группа порядка , то  делит . Кроме того, индекс  в  должен быть примарным, а поскольку

,

то при  простое число  должно делить , что невозможно. Для  числа  и  взаимно просты. При  группа  удовлетворяет условию теоремы. Следовательно, если , то либо , либо , a .

Пусть  и  - простое число, где . Так как , то индекс  в  равен  и  или .

Пусть , где . Поскольку , то подгруппа  имеет в  непримарный индекс. Поэтому в этом случае .

Поскольку случай  рассмотрен при , где , то теорема доказана полностью.


Заключение

В данной курсовой работе изучены три темы:

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса.

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса.

Подробно рассмотрены теоремы и леммы, а также их доказательства.


Список литературы

1. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. - 272 С.

2. Монахов B. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев 1993.С. 195-209.

3. Мазуров В.Д., Сыскин С.А. О конечных группах со специальными силовскими 2-подгруппами. // Матем. заметки. - 1973. - Т.14, N 2. - С.217-222.

4. Монахов B. C. Произведение конечных групп, близких и нильпотентных. // В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника. - 1975. - С.70-100.

5. Старостин А.И. О группах Фробениуса. // Украинский матем. ж. - 1971. - Т.23, N 5. - С.629-639.

6. Huppert В. Endliche Gruppen I. - Berlin-Heidelberg- New York: Springer, 1967. - 793 P.

7. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. - М.: Мир,-1985. - 352 С.

8. Левищенко С.С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // Некоторые вопросы теории групп. - Киев, 1975. - С.173-196.

9. Сидоров А.В. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов // Вопросы алгебры. - Минск. - 19S7. - Вып.3. - С.48-56.

10. Huppert B. Endliche Gruppen.I. - Berlin: Springer, 19 (37. - 795 S.

11. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. - 267 с.

12. Монахов B. C. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным // Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1975. - С.70-100.

13. Левищенко С.С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // В кн.: Некоторые вопросы теории групп. Киев, 1975. - С. 197-217.

14. Монахов B. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев. 1993. - С. 195-209.

15. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978, 272 с.

16. Guralnick R. Subgroups of prime power index in a simple group. J. Algebra. 1983. - Vol.81. - P.304-311.



© 2009 РЕФЕРАТЫ
рефераты