Дипломная работа: Редуцированные полукольца
Дипломная работа: Редуцированные полукольца
Министерство Образования
Российской Федерации
Математический
факультет
Кафедра алгебры
и геометрии
Выпускная квалификационная работа
«Редуцированные
полукольца»
Работу
выполнил студент
математического факультета
\Подпись\ ____________
Научный руководитель:
К.физ.-мат. наук
.
\Подпись\ ____________
Рецензент:
Д. физ.-мат. наук,
профессор
.
\Подпись\ ____________
Допущен к защите в ГАК
Зав. кафедрой ___________________.
«___»________________
Декан факультета _______________.
«___»________________
Киров, 2003.
План.
1.
Введение.
2. Основные понятия, леммы и
предложения.
3. Доказательство основной теоремы.
1.Введение
Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и × называется полукольцом, если
выполняются следующие аксиомы:
1. (S, +) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;
2. (S, ×) - полугруппа с нейтральным элементом 1;
3. умножение дистрибутивно относительно
сложения:
a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc
для любых a, b, c Î S;
4. 0a = 0 = a0 для любого aÎ S.
Итак, по принятому нами
определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей
отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при
работе с полукольцами.
В настоящей работе
рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.
Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным,
если для любых a, bÎS выполняется a = b, как только a + b = ab + ba.
Целью данной работы
является доказательство следующей теоремы.
Теорема . Для всякого редуцированного
полукольца S
равносильны следующие условия:
1. S слабо риккартово;
2.
" a, bÎS (D(a)ÇD(b)=ÆÞ    =Æ);
3. все идеалы Op, PÎSpec S, первичны(эквивалентно, вполне
первичны, псевдопросты);
4.   все идеалы OM, MÎ Max S, первичны (эквивалентно, вполне
первичны, псевдопросты) и P Í M Þ Op=OM для " PÎ Spec S и MÎ Max S;
5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный
первичный идеал;
6.
" a, bÎ S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);
Эта теорема обобщает факты,
доказанные в классе колец ([1]).
2.Основные понятия, леммы и предложения
Для доказательства нашей
теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.
Определение 3. Полукольцо
S называется симметрическим,
если для любых элементов a, b, b¢, c Î S выполняется
abc = ab¢c Û acb = acb¢.
Определение 4. Элемент
aÎS называется нильпотентным,
если в последовательности a, a , a ,…, a , … встретится нуль.
Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без
нильпотентов.
Доказательство:
Пусть ab = ab¢. Тогда
baba = bab¢a и b¢aba = b¢ab¢a,
откуда
baba + b¢ab¢a = bab¢a + b¢aba
или иначе
(ba) + (b¢a) = bab¢a + b¢aba.
В силу редуцированности ba = b¢a, т.е.
ab = ab¢ Þ ba = b¢a.
(1)
Аналогично доказывается ba = b¢a Þ ab = ab¢.
Пусть ab = ab¢. Тогда с помощью (1) ba = b¢a, откуда bac = b¢ac и acb = acb¢. Значит, имеем:
ab = ab¢ Þ acb = acb¢, ba = b¢a Þ bca = b¢ca. (2)
Пусть сейчас abc = abc¢. Тогда
abc = ab¢c Þ acbc = acb¢c Þ acbac = acb¢ac Þ acbacb = acb¢acb и
acbacb¢ = acb¢acb¢ Þ (acb) + (acb¢) = acb¢acb + acbacb¢ Þ acb = acb¢.
Таким же образом доказывается другая
импликация.
Пусть a + b = ab + ba влечёт a = b.
При b = 0 получаем a = 0 Þ a = 0. Если
с = 0 для некоторого
натурального n
> 2, то c = 0 для k Î N
с условием n £ 2 .
Получаем, что c = 0, и так далее. На некотором шаге получим c = 0, откуда с = 0. Предложение
доказано.
Пример. Рассмотрим полукольцо S = {0, a, b, 1}, операции
в котором заданы следующим образом:
|
+
|
a b 1
|
|
a
b
1
|
a b 1
b b b
1 b 1
|
|
·
|
a b 1
|
|
a
b
1
|
a a a
b b b
a b 1
|
Пример этого полукольца показывает,
что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе
стороны, поскольку aa =
ab, но aa ¹ ba. Во-вторых, S – полукольцо без нильпотентов, более того, без
делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не
является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что
отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.
Определение 5. Собственный
двусторонний идеал P
полукольца S называется первичным, если AB Í P влечёт A Í P или B Í P
для любых идеалов A
и B. Первичный идеал коммутативного
полукольца называется простым.
Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым,
если ab = 0 влечёт a Î P или b Î P для "a, b Î S.
Предложение 2.
Идеал P полукольца S первичен тогда и только тогда, когда
для любых элементов a, b
Î S \ P найдётся элемент s Î S такой, что asb Ï P. Если S - коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a, b Ï P влечёт ab Ï P.
Доказательство: Пусть P первичен и элементы a, b Ï P.
Тогда главные идеалы (a)
и (b) не лежат в P, как и их произведение. Значит,
некоторый элемент t Î aSb не принадлежит P, поскольку t =  для
некоторых u ,v ,w Î S, то хотя бы для одного i Î {1,…,k}
a v b Ï P, ибо в противном случае каждое
слагаемое u av bw лежит в P, и следовательно, t Î P.
Обратно. Пусть произведение
идеалов A и B лежит в P, но A  P. Тогда найдётся a Î A \ P. Предположим, что B  P. Получим, что некоторый элемент b Î B \ P и по условию asb Ï P для подходящего s ÎS. Но тогда и AB  P, и следовательно, P - первичный идеал.
Утверждение для
коммутативного случая очевидно.
Определение 7. Подмножество T полукольца называется m-системой, если 0 ÏT, 1 ÎT и для любых a, b Î T
найдётся такой s ÎS, что asb Î T.
Пример. Рассмотрим множество T = {a ,a, a , … , a }, где n Î N и a ¹ 0.
Оно является подмножеством полукольца R неотрицательных действительных чисел
с обычными операциями сложения и умножения. 0 Ï T, 1Î T и для
"a ,a Î T $с = 1ÎS : a сa = a Î T. Таким образом, T является m-системой.
Легко увидеть, что
если P – первичный идеал, то S \ P является m-системой. И хотя дополнение до m-системы не обязано быть первичным
идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая
связь.
Предложение 3. Пусть T - m-система, а J - произвольный идеал полукольца S, не пересекающийся с T. Тогда любой максимальный идеал
среди содержащих J и не пересекающихся с T первичен.
Доказательство: Пусть P Ê J, P Ç T
= Æ и P - максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим
условиям. Допустим, что aSb Í P
для некоторых a, b Ï P. Идеалы P + SaS и P + SbS
строго содержат идеал P,
и значит, пересекаются с T. Пусть m Î (P + SaS) Ç T, r Î (P +
SbS) Ç T
и msr Î T для некоторого sÎS. Но, с другой стороны,
msr Î (P + SaS) × (P +
SbS) Í P +SaSbS Í P.
Получили противоречие, что P пересекается с T. Значит, предположение, что aSb Î P неверно, и P - первичный идеал. Предложение
доказано.
Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным
идеалом, если M Í A влечёт M = A или A = S
для каждого идеала A.
Предложение 4.
Максимальный идеал полукольца первичен.
Доказательство: Рассмотрим нулевой идеал J и не пересекающуюся с ним m-систему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T, значит, по предложению 3 он будет
первичным.
Определение 9. Для любого a Î S множество
Ann aS = {t Î S: ("s Î S) ast=0} называется аннулятором элемента a.
Ann aS является двусторонним идеалом
полукольца S.
Ann a ={s Î S: as = 0} - правый идеал и Ann aS
Í Ann a.
Определение 10. Для любого идеала P множество Op = {s Î S: ($tÏP) sSt = 0} = {s Î S:
Ann sS  P} называется O-компонентой идеала P.
Лемма 1. Op является идеалом для любого
первичного идеала P.
Доказательство:
Пусть a, b Î Op.
Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t, u Ï P.
В силу первичности P
tsu Ï P для подходящего s Î S.
Для любого v Î S
(a
+ b)vtsu = (avt)su + b(vts)u =
0.
Далее, (as)vt = a(sv)t
= 0, (sa)vt = s(avt) = s0 = 0, поэтому a + b,
sa, as Î Op, и Op - идеал.
Лемма 2. Пусть P Í M - первичные идеалы полукольца.
Тогда OM Í Op Í P.
Доказательство: Пусть a Î OM, тогда aSt = 0 для некоторого t Ï M. Поскольку t Ï P,
то a Î Op, и значит, OM Í Op.
Для любого s Î S 0 = ast Î P. Поскольку P первичен, то a Î P или t Î P, отсюда a Î P,
и следовательно, Op Í P.
Лемма 3. Для произвольных первичных
идеалов P и P¢ симметрического полукольца S верна импликация:
P Ç P¢ не содержит первичных идеалов Þ Op P¢.
Доказательство: Предположим, что Op Í P¢. Полагая A = S \ P и B =
S \ P¢, рассмотрим множество AB всевозможных конечных произведений
элементов из A È B. Покажем, что AB Ç Op
= Æ. В самом деле,
если s Î AB Ç Op, то sb
= 0 для некоторого b Î A, т.е. {0} Î AB. Поскольку s является произведением элементов из A È B, то в силу первичности идеалов P и P¢ и свойства симметрических
полуколец uv = 0 для
подходящих u Î B, v Î A.
Откуда u Î Op  P¢ - противоречие.
Таким образом, AB является m-системой, и значит, существует
первичный идеал Q, не
пересекающийся с AB и
содержащий Op. А так как A È B Í AB, то P Ç P¢ Ê Q. Получили противоречие с условием,
значит наше предположение неверно, и Op P¢.
Следствие 1. Для
произвольных первичных идеалов P и P¢ в симметрическом полукольце, если Op Í P¢ , то пересечение P и P¢ содержит хотя бы один первичный
идеал.
Определим множество (a, b) = {s Î S: "xÎS (axs = bxs)}
- идеал
полукольца S для "a, b Î S.Очевидно, (a, 0) =
Ann aS.
Для произвольного идеала A обозначим  - пересечение первичных идеалов
полукольца S, содержащие идеал A.
Определение 11. Полукольцо S называется строго полупервичным,
если для любых элементов a, b Î S выполняется
 = (a, b) .
Определение 12. Пересечение rad S всевозможных первичных идеалов в S называется первичным радикалом
полукольца S.
Определение 13. Полукольцо называется полупервичным,
если его первичный радикал равен нулю.
Предложение 5. Полукольцо S полупервично тогда и только тогда,
когда  = Ann aS для всех a Î S.
Доказательство:
При a = 1 rad S =  = Ann S = 0, т.е. S - полупервично.
Пусть S - полупервичное полукольцо и b Î . Для каждого первичного идеала P, либо P содержит Ann aS,
либо Ann aS не содержится в P. В первом случае b Î P, во втором случае a Î Op Í P.
Тогда aSb  rad S
= 0, откуда b Î Ann aS. Следовательно,  Í Ann aS. Другое включение справедливо всегда.
Следствие 2. Строго
полупервичное полукольцо является полупервичным.
Предложение 6.
Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично.
Доказательство: Пусть c Ï(a, b) для a, b Î S.
Тогда ac ¹ bc и из редуцированности S вытекает, что acac + bcbc ¹ acbc + bcac. Элементы cac и cbc отличны друг от друга, и значит, ac ¹ bc в силу симметричности
редуцированного полукольца. Аналогично ac ¹ bc , и следовательно, ac ¹ bc . По индукции ac ¹ bc . Значит, T = {1, c, c ,…} - m-система, не пересекающаяся с (a, b) , и поэтому найдётся
первичный идеал P, содержащий
(a, b) , при
этом c Î S \ P. Значит, c Ï , откуда  Í (a, b) . Другое включение
справедливо всегда.
Получили  = (a, b) Þ по определению 12 S - строго полупервично, что и
требовалось доказать.
Обозначим через Spec S множество всех первичных идеалов
полукольца S. Для любого идеала A полукольца S положим
D(A) = {P Î Spec S: A  P}.
Множество D({0}) = {P Î Spec S: {0} P}
= Æ, а Spec S = D(S).
D(A) Ç D(B)
= { P Î Spec S: A  P Ù B  P} = { P Î Spec S : AB  P} = D(AB).
Spec S является топологическим пространством
с семейством открытых множеств вида D(A).
Лемма 4. Для
любого идеала A полупервичного полукольца S
 = {P Î Spec S: Ann A Í P}.
Доказательство: Обозначим через Y правую часть доказываемого
равенства. Если P Î D(A), т.е. A  P, то Ann A Í P,
т.е. P Î Y. Откуда  Í Y, ибо Y замкнуто.
Обратно, пусть P Ï . Тогда P лежит в некоторой окрестности D(B),
где B - некоторый идеал в S, не пересекающийся с .
D(A) Ç D(B) = Æ, тогда AB Í rad S = 0, т.е. B Í Ann A.
Тогда P не содержит Ann A , иначе P содержал бы B . Следовательно, P Ï Y . Получили Y Í  .
Лемма 5. Пусть
P - первичный идеал редуцированного
полукольца S. Тогда P = Op Û P - минимальный первичный идеал.
Доказательство:
Пусть P = Op , P ¢Î Spec S
и P ¢ Í P. Тогда Op Í OP¢ Í P ¢. Поэтому P ¢= P, и P минимален.
Обратно, пусть дан
минимальный первичный идеал P
редуцированного полукольца S.
Предположим, что существует a ÎP \ Op. Степени элемента a образуют m-систему (0 Ï{a }, 1Î{a } и для "a ,a Î{ a } $с = 1ÎS : a сa = a Î{ a }),не пересекающуюся с Op. Действительно, если a Î Op , n Î N, то a b = 0 для некоторого b ÎS \ P. Но тогда (ab) = 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое
без нильпотентов, и значит ab =
0, то есть a Î Op ;противоречие.
Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢ Op, не содержащий a, который будет первичным. Из
следствия 1 вытекает, что в S
существует первичный идеал, лежащий в P Ç P ¢,что противоречит минимальности P. Значит, P Í Op. Также Op Í P
(Лемма 2). Тогда P = Op.
Лемма 6. Любой
первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.
Доказательство: В самом деле, если a, b Î S \ P, то asb Ï P для подходящего s Î S,
откуда asb ¹ 0 и ab ¹ 0.
Определение 14.
S – слабо риккартово Û "a Î S "b Î Ann aS
Ann aS + Ann b = S
Пример. Обозначим через N – полукольцо всех неотрицательных
целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём a = 0Î N. Тогда Ann aS
= N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = N.
Теперь возьмём a
Î N \ {0}. Тогда Ann aS
= {0}, а Ann b = N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = {0} + N = N . Таким образом, N – слабо риккартово полукольцо. Аналогично,
любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.
3. Доказательство основной теоремы.
Теорема . Для всякого редуцированного
полукольца S
равносильны следующие условия:
1. S слабо риккартово;
2.
" a, bÎS (D(a)ÇD(b)=ÆÞ    =Æ);
3. все идеалы Op, PÎSpec S, первичны(эквивалентно, вполне
первичны, псевдопросты);
4.   все идеалы OM, MÎ Max S, первичны (эквивалентно, вполне
первичны, псевдопросты) и P Í M Þ Op=OM для " PÎ Spec S и MÎ Max S;
5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный
первичный идеал;
6.
" a, bÎ S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);
Доказательство: Пусть S - редуцированное полукольцо. Такое S - симметрическое (по предложению 1),
поэтому S обладает всеми свойствами
симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)Þ3)Þ4)Þ5)Þ6)Þ1) и 2)Û6).
1)Þ3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал Op вполне первичен. Пусть P Î Spec S и ab ÎOp при a, b Î S.
Тогда $ сÎS \ P: abSc = 0,т.е. absc = 0 для " s Î S.
Возьмём s = 1 Þ abc = 0 Þ bc Î Ann aS (по определению Ann aS). Но Ann aS Í Ann a . Тогда bc ÎAnn a. По условию 1) S - слабо риккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = S
для a ÎS, bc Î Ann aS.
$ e ÎAnn aS, f ÎAnn bc: e + f = 1
(1ÎS).
Предположим, что a ÏOp Þ Ann aS Í P (по определению Ann aS) Þ e ÎP.
Тогда f ÏP, т.к. в противном случае 1ÎP. Но P - первичный идеал Þ P -
собственный Þ 1ÏP.
f ÎAnn bc Þ bcf = 0. Т.к. S - симметрическое Þ bScf = 0. Но cf ÏP (т.к. c ÏP, f ÏP , а P - первичный идеал) Þ b Î Op .
Таким образом, получили, что все
идеалы Op , P Î Spec S, вполне первичны.
3)Þ4). По условию 3 все идеалы Op , где P Î Spec S, первичны. Но M Î Max S – является первичным идеалом
(предложение 4), т.е. M Î Spec S.
Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы OM , где M Î Spec S и M Î Max S, первичны.
Пусть P Í M. Тогда OM Í Op (лемма
2).
Если a Î Op , т.е. ab = 0 при некотором b ÎS \ P и s
= 1ÎS, то a ÎOM , ибо b ÏOM Í P, а ab = 0 ÎOM и
OM псевдопрост (доказано выше). Значит
и Op Í OM . Тогда Op
= OM .
4)Þ5). Пусть P – первичный идеал из S и P Í M.
По условию 4) данной теоремы OM
– первичный идеал и так как P Í M Þ Op = OM . Также Op Í P (Лемма 2). Докажем, что OM – минимальный первичный идеал в S, лежащий в P. Пусть в P лежит Q - минимальный первичный идеал полукольца S. Но Q Í M Þ OM Í OQ Í Q. По условию 4) данной теоремы OM = OQ. . Так как Q – минимальный первичный идеал Þ OQ = Q
(Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что Op = OM =Q.
Докажем теперь
единственность такого первичного идеала. Пусть P ¢ - произвольный минимальный первичный
идеал в S, отличный от Q и лежащий в M. Тогда OP¢ = OM (по
условию 4)). Также OP¢ = P ¢ .
Тогда получили равенство Q = OQ = OM = OP¢ = P ¢ . Единственность доказана.
Так как все первичные идеалы
полукольца S содержатся в M ÎMax S, то мы получили, что каждый
первичный идеал полукольца S
содержит единственный минимальный первичный идеал.
5)Þ6). Пусть ab = 0, но Ann a + Ann b ¹ S для некоторых a, b ÎS.
Тогда Ann a + Ann b Í M
для подходящего M Î Max S.
Рассмотрим единственный минимальный
первичный идеал P,
содержащийся в M. Тогда OM Í P
(Лемма 2). Предположим, что $a Î P \ OM . Степени элемента a образуют m-систему (0 Ï{a }, 1Î{a } и для "a ,a Î{ a } $с = 1ÎS: a сa = a Î{ a }),не пересекающуюся с OM. Действительно, если a Î OM, n Î N, то a b = 0 для некоторого b ÎS \ M. Но тогда (ab) = 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое
и значит ab = 0, то есть a ÎOM ; противоречие. Из предложения 3
видно, что найдётся идеал P ¢  OM, не содержащий a, который будет первичным.
Пусть q, w Î S \ P и q, w Î S \ P ¢. Тогда $s Î S: qsw Ï P Þ qsw Ï P Ç P ¢ Þ P Ç P ¢ -первичный идеал, что противоречит
минимальности P. Значит P Í OM и P
= OM. Первичный идеал OM псевдопрост, поэтому aÎOM или b ÎOM. Откуда по определению нуль-компонент Ann a  M Ú Ann b M Þ Ann a + Ann b  M Þ противоречие Þ Ann a + Ann b
= S.
6)Þ1). Возьмём "a, b ÎS: ab = 0 Þ b Î Ann aS.
Из условия 6) данной теоремы вытекает
равенство:
Ann a + Ann b = S.
Так как в симметрическом полукольце Ann aS = Ann a,
то Ann aS + Ann b = S.
Таким образом, полукольцо S-слабо риккартово, что и требовалось
доказать.
2)Û6). Пусть a, b Î S и ab = 0. D(a)
Ç D(b) = {PÎSpec S: aÏP Ù bÏP} = { PÎSpec S: ab Ï P} (в силу первичности) = D(ab) = D(0) = Æ.
Обратно, D(a) Ç D(b) ={PÎSpec S: aÏP Ù bÏP} ={PÎSpec S: ab Ï P}=D(ab)
=Æ Þ ab = 0, так как D(x)
= Æ Û x = 0.
Таким образом, ab = 0 Û D(a)
Ç D(b) = Æ.
Так как S – симметрическое полукольцо на основании предложения
1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы
можем применить лемму 4. На основании этой леммы
      = {SÎSpec S: Ann aÍP Ù Ann bÍP} = Æ.
  Тогда Ann a
+ Ann b  M для " M Î Max S Í Spec S Þ Ann a + Ann b
= S.
         В другую сторону, пусть Ann a + Ann b = S Þ Ann a M Ú Ann b M для подходящего M Î Max S Í Spec S.
Тогда    = {S Î Spec S: Ann a ÍP Ù Ann b ÍP} = Æ. Таким образом, условия 2) и 6)
равносильны.
Теорема доказана полностью.
Cвойство:
Если редуцированное
полукольцо S слабо
риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a, b полукольца S выполняется импликация:
ab = 0 и a + b Î A Þ a Î A.
Доказательство: Пусть даны в S правый идеал A и такие элементы a и b, что ab = 0 и a
+ b ÎA. Так как условие 6) доказанной
теоремы равносильно тому, что S
слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него. Тогда Ann a + Ann b = S,
то есть c + k = 1 при некоторых c ÎAnn a и k ÎAnn b.
c Î Ann a Þ ac = 0 (по определению аннулятора).
k Î Ann b Þ bk = 0.
a = a×1 + 0 = a×(c + k) + bk
= ac + ak + bk = ac + (a + b)×k = (a + b)×k ÎA.
Получили a ÎA, что и нужно было доказать.
Литература.
1.
Е.М. Вечтомов.
«Функциональные представления колец». – М.: МПГУ им. Ленина, 1993. – 190 с.
2.
В.В.Чермных.
«Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. - 131 с.
|
