рефераты
рефераты
Главная
Рефераты по рекламе
Рефераты по физике
Рефераты по философии
Рефераты по финансам
Рефераты по химии
Рефераты по цифровым устройствам
Рефераты по экологическому праву
Рефераты по экономико-математическому моделированию
Рефераты по экономической географии
Рефераты по экономической теории
Рефераты по этике
Рефераты по юриспруденции
Рефераты по языковедению
Рефераты по юридическим наукам
Рефераты по истории
Рефераты по компьютерным наукам
Рефераты по медицинским наукам
Рефераты по финансовым наукам
Психология и педагогика
Промышленность производство
Биология и химия
Языкознание филология
Издательское дело и полиграфия
Рефераты по краеведению и этнографии
Рефераты по религии и мифологии
Рефераты по медицине
Рефераты по сексологии
Рефераты по информатике программированию
Рефераты по биологии
Рефераты по экономике
Рефераты по москвоведению
Рефераты по экологии
Рефераты по физкультуре и спорту
Топики по английскому языку
Рефераты по математике
Рефераты по музыке
Остальные рефераты
Рефераты по авиации и космонавтике
Рефераты по административному праву
Рефераты по безопасности жизнедеятельности
Рефераты по арбитражному процессу
Рефераты по архитектуре
Рефераты по астрономии
Рефераты по банковскому делу
Рефераты по биржевому делу
Рефераты по ботанике и сельскому хозяйству
Рефераты по бухгалтерскому учету и аудиту
Рефераты по валютным отношениям
Рефераты по ветеринарии
Рефераты для военной кафедры
Рефераты по географии
Рефераты по геодезии
Рефераты по геологии
Рефераты по геополитике
Рефераты по государству и праву
Рефераты по гражданскому праву и процессу
Рефераты по делопроизводству
Рефераты по кредитованию
Рефераты по естествознанию
Рефераты по истории техники
Рефераты по журналистике
Рефераты по зоологии
Рефераты по инвестициям
Рефераты по информатике
Исторические личности
Рефераты по кибернетике
Рефераты по коммуникации и связи
Рефераты по косметологии
Рефераты по криминалистике
Рефераты по криминологии
Рефераты по науке и технике
Рефераты по кулинарии
Рефераты по культурологии
Рефераты по зарубежной литературе
Рефераты по логике
Рефераты по логистике
Рефераты по маркетингу
Рефераты по международному публичному праву
Рефераты по международному частному праву
Рефераты по международным отношениям
Рефераты по культуре и искусству
Рефераты по менеджменту
Рефераты по металлургии
Рефераты по налогообложению
Рефераты по педагогике
Рефераты по политологии
Рефераты по праву
Биографии
Рефераты по предпринимательству
Рефераты по психологии
Рефераты по радиоэлектронике
Рефераты по риторике
Рефераты по социологии
Рефераты по статистике
Рефераты по страхованию
Рефераты по строительству
Рефераты по схемотехнике
Рефераты по таможенной системе
Сочинения по литературе и русскому языку
Рефераты по теории государства и права
Рефераты по теории организации
Рефераты по теплотехнике
Рефераты по технологии
Рефераты по товароведению
Рефераты по транспорту
Рефераты по трудовому праву
Рефераты по туризму
Рефераты по уголовному праву и процессу
Рефераты по управлению

Дипломная работа: Метризуемость топологических пространств


Дипломная работа: Метризуемость топологических пространств

Министерство образования и науки Российской Федерации

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Дипломная работа

Метризуемость топологических пространств

Выполнила

студентка  5 курса

математического факультета

Побединская Татьяна Викторовна

_______________________________

(подпись)

Научный руководитель

к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна

_______________________________

(подпись)

Рецензент

_______________________________

(подпись)

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой______________________________к.п.н., доцент Крутихина М.В.

                                            (подпись)

                                                                                 «_____» _______________2004 г.

Декан факультета_________________________к.ф.-м.н., доцент Варанкина В.И.                                                                                        

                                            (подпись)

                                                                                 «_____» _______________2004 г.

КИРОВ

2004


Содержание     

Введение. 3

Глава I.  Основные понятия и теоремы.. 4

Глава II. Свойства метризуемых пространств. 10

Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств. 21

Библиографический список. 24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Тема дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств».

В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.

Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:

1. Метризуемое  пространство хаусдорфово.

2. Метризуемое  пространство нормально.

3. В метризуемом пространстве выполняется первая аксиома счетности.

4. Метризуемое пространство совершенно  нормально.

5. Для метризуемого пространства  следующие условия эквивалентны:

1)  сепарабельно,

2)  имеет счетную базу,

3)  финально компактно.

6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.

7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.

В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.

     

 

 

 

 

Глава I.  Основные понятия и теоремы

Определение. Метрическим пространством называется пара , состоящая из некоторого множества (пространства)  элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции , определенной для любых  и  из и удовлетворяющей трем условиям:

1)      (аксиома тождества);

2)    (аксиома симметрии);

3)    (аксиома треугольника).

Определение. Пусть – некоторое множество. Топологией в  называется любая система  его подмножеств , удовлетворяющая двум требованиям:

1.   Само множество  и пустое множество принадлежат .

2.   Объединение  любого (конечного или бесконечного) и пересечение  любого конечного числа множеств из  принадлежат .

Множество с заданной в нем топологией , то есть пара , называется топологическим пространством.

Множества, принадлежащие системе , называются открытыми.  

Множества , дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства .

Определение. Совокупность  открытых множеств топологического пространства называется базой топологического пространства , если всякое открытое множество в  может быть представлено как объединение некоторого числа множеств из .

Теорема 1. Всякая база  в топологическом пространстве обладает следующими двумя свойствами:

1)   любая точка содержится хотя бы в одном ;

2)   если  содержится в пересечении двух множеств  и  из , то существует такое , что

Определение. Открытым шаром или окрестностью точки  радиуса   в метрическом пространстве  называется совокупность точек , удовлетворяющих условию . При этом  – центр шара,  – радиус шара.

Утверждение 1. Для любого , принадлежащего -окрестности точки , существует окрестность радиуса , включенная в  -окрестность точки .

Доказательство. Выберем в качестве  :.

Достаточно доказать для произвольного  импликацию . Действительно, если , то

Получаем, что , что и требовалось доказать.

Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.

Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1).

·     Свойство первое очевидно, так как для любого выполняется  для любого .

·     Проверим второе свойство.

Пусть ,  и , тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое , что  Теорема доказана.

 

Определение. Топологическое пространство  метризуемо, если существует такая метрика  на множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства .

Аксиомы отделимости

Аксиома .  Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них не содержит другую.     

Аксиома . Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку.

Предложение.  является - пространством тогда и только тогда, когда для любого   множество  замкнуто.

Доказательство.

Необходимость. Пусть . Так как  является -пространством, то существует окрестность , не содержащая .

Рассмотрим

Докажем, что . Применим метод двойного включения:

·     Очевидно, что  по построению множества .

·     .

Пусть  отсюда для любого  отличного от  существует окрестность , значит , тогда .

Множество - открыто, как объединение открытых множеств.

Тогда множество - замкнуто, как дополнение открытого множества.

Достаточность.  Рассмотрим . По условию замкнутые множества. Так как , то . Множество -открыто как дополнение замкнутого и не содержит . Аналогично доказывается существование окрестности точки , не содержащей точку

Что и требовалось доказать.

 Аксиома  ( аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности.

 Аксиома . Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.

Определение. Пространства, удовлетворяющие аксиомам  () называются -пространствами (-пространства называют также хаусдорфовыми пространствами).

Определение. Пространство называется нормальным или -пространством, если оно удовлетворяет аксиоме , и всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности.

Определение. Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки , если для любой окрестности  точки  найдется окрестность из этой системы, содержащаяся в .

Определение. Если точка  топологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполняется первая аксиома счетности. Если это верно для каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой аксиомой счетности.

Определение. Две метрики  и  на множестве  называются эквивалентными, если они порождают на нем одну и ту же топологию.

Пример. На плоскости  для точек  и  определим расстояние тремя различными способами:

1. ,

2. ,                                                               

3. .

·     Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.

1. 1)

     2) так как  и , то вторая аксиома очевидна:

     3) рассмотрим точки  ,, и докажем следующее неравенство:

         

Возведем это неравенство в квадрат:

.

Так как  и  (поскольку ) и выражение  есть величина неотрицательная, то неравенство  является верным.

2. 1)

    2) так как  и , то вторая аксиома очевидна: .

    3) рассмотрим точки  ,, и докажем следующее неравенство: .

Тогда и .

3. 1)

    2) так как  и , то вторая аксиома очевидна:

    .

    3) рассмотрим точки  ,,.

Неравенство:  - очевидно.                                    

·     Введенные метрики  и  эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.

Пусть метрика  порождает топологию , - топологию  и - топологию . Достаточно показать два равенства.

Покажем, что .

Рассмотрим множество,  открытое в  и покажем, что  открыто в . Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда  открыто и в .

Аналогично доказывается, что . А тогда и .

Глава II. Свойства метризуемых пространств

Свойство 1. Метризуемое  пространство хаусдорфово.

Доказательство. Пусть . Возьмем . Докажем, что .

Предположим, что , тогда существует , т.е.  и . Тогда, . Получили противоречие. Следовательно, .

Следствие. Метризуемое  пространство является   - пространством.

Определение. Расстоянием от точки  до множества  в метрическом пространстве называется .

Утверждение 2. Пусть множество  фиксировано; тогда функция , сопоставляющая каждой точке  расстояние , непрерывна на пространстве .

Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности: функция  называется непрерывной в точке , если .

Из неравенства , где , получаем . Аналогично . Из полученных неравенств следует .

Для произвольного  возьмем . Тогда из неравенства  следует . Непрерывность  доказана.

Лемма. – замкнутое множество в метрическом пространстве . Для любого  расстояние от  до множества  положительно.

Доказательство.

Множество  замкнуто, отсюда следует, что множество - открыто. Так как точка  принадлежит открытому множеству , то существует такое, что . Так как , то  для некоторого . Поэтому   для любого . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Свойство 2. Метризуемое  пространство нормально.

Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является

-пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества  и  имеют непересекающиеся окрестности.

Так как  и множество  замкнуто по условию, то для любого  по лемме .

Обозначим  и  для произвольных  и .

Множества и  открыты как объединения открытых шаров в  и содержат соответственно множества  и .

Следовательно,  - окрестность множества ,  - окрестность множества .

Докажем, что .

Предположим, что , то есть . Тогда из условия  следует, что   для некоторого . Отсюда .

Аналогично получаем  для некоторого . Для определенности пусть . Тогда .

Получаем , для некоторой точки , что невозможно в силу определения расстояния от точки до множества.

Следовательно . Таким образом,  является -пространством, а, значит, нормальным пространством. Теорема доказана.

Свойство 3. В метризуемом пространстве выполняется первая аксиома счетности.

Доказательство. Пусть - произвольное открытое множество, содержащее точку . Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то  содержится в  вместе с некоторым открытым шаром, то есть  для некоторых  и . По утверждению 1 найдется такое , что .

Возьмем , для которого . Тогда . Таким образом открытые шары ,  образуют определяющую систему окрестностей точки . Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать.

Определение. Множеством типа   или просто  - множеством пространства  называется всякое множество , являющееся объединением счетного числа замкнутых (в ) множеств.

Определение. Множеством типа  или просто  - множеством пространства  называется всякое множество , являющееся пересечением счетного числа открытых  (в ) множеств.

Очевидно, что множества типа  и  являются взаимно дополнительными друг для друга.

Определение. Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является множеством типа  , называется совершенно нормальным.

Утверждение 3. Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа .

Свойство   4. Метризуемое пространство совершенно  нормально.

Доказательство. Пусть  - непустое замкнутое множество в . Тогда  для непрерывной функции  (непрерывность ее установлена в утверждении 2). Обозначим , множества  открыты в  как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении. Докажем, что .

Пусть , тогда . Так как  для любого , то  для любого . Отсюда .

Обратно. Пусть , тогда  для любого . Отсюда  для любого , поэтому  для любого , тогда , значит . Таким образом множество  является множеством типа .

Определение. Множество  всюду плотно в , если любое непустое открытое в  множество содержит точки из .

Определение. Топологическое пространство  называется сепарабельным, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.

Определение. Семейство γ открытых в  множеств образуют покрытие пространства , если  содержится в объединении множеств этого семейства.

Определение. Топологическое пространство  называется финально компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие.

Свойство 5. Для метризуемого пространства  следующие условия эквивалентны:

1)  сепарабельно,

2)  имеет счетную базу,

3)  финально компактно.

Доказательство.

Пусть - счетное всюду плотное множество в , - метрика в . Множество окрестностей  счетно. Докажем, что  - база топологии в . Пусть - произвольное открытое в  множество, . Тогда  для некоторого . Рассмотрим рациональное число , для которого   и точку , для которой .

Докажем, что . Пусть . Так как , то . Тогда . Таким образом, для произвольного  и открытого множества  нашелся элемент из , такой, что . Следовательно - база топологии.

 Пусть  - счетная база в . Рассмотрим произвольное открытое покрытие множества , - открыты для любого  (- индексное множество). Для любого  существует , для которого . Так как - база, то найдется такое , что . Тогда . Поскольку база  счетна, то  покрывается счетным числом соответствующих множеств . Таким образом, - финально компактно.

 Для каждой точки  рассмотрим окрестности , которые образуют покрытие пространства . В силу финальной компактности  из этого покрытия можно выделить счетное подпокрытие . В каждом из этих множеств выберем точку . Множество точек  счетно, докажем, что оно плотно в . Пусть - произвольное открытое множество в , , тогда  для некоторого . Существует элемент подпокрытия . Тогда , то есть любое непустое открытое множество в  содержит точку этого множества. Что и требовалось доказать.

Определение. Диаметром непустого множества  в метрическом пространстве  называется точная верхняя грань множества всех расстояний между точками множества  и обозначается .

.

Если , то множество  называют неограниченным.

Определение. Метрика  метрического пространства  называется ограниченной, если .

Свойство 6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.

Доказательство. Пусть метрика  порождает топологию топологического пространства . Положим  для любых .

Докажем следующее:

1.   -метрика на ;

2.   метрики  и  эквивалентны;

3.   .

1. Проверим выполнимость аксиом.

    1) ;

    2);

    : Докажем, что .

Известно, что .

·     Если  и , то  и , тогда . Так как , то .

·     Если  или , то , а , тогда .

2. Пусть - топология, порожденная метрикой , а - топология, порожденная метрикой . Докажем, что .

Пусть - открытое множество в , докажем, что множество  открыто в . Для любого  существует  такое, что . Можно считать, что . Тогда  является окрестностью в  того же радиуса . Следовательно,  открыто в топологии .

В обратную сторону доказательство проводится аналогично.

Из всего выше сказанного следует, что метрики  и  эквивалентны.

3.  Из формулы  следует, что  для любых . Отсюда .

Определение.  - топологические пространства, . Тихоновским произведением топологических пространств  называется топологическое пространство , в котором базу топологии образуют множества , где  открыто в  для любого  и  для всех индексов кроме конечного их числа.

Свойство 7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.

 Доказательство. Пусть  - метризуемые топологические пространства. По лемме на каждом множестве  существует ограниченная метрика  соответственно.

Рассмотрим .                                                               

Покажем:

1.  является метрикой на  и  .

2. топология, порожденная метрикой , совпадает с топологией произведения пространств .

1. Проверим выполнимость аксиом метрики.

1) (так как  - метрика по условию).

2) , .

Так как (-метрика по условию), то , тогда .

3) Докажем, что .

, , . Но так как выполняется неравенство , то будет выполняться неравенство:

, тогда .

   Теперь докажем, что .

, где  геометрическая прогрессия, а , тогда .

2. 1) Покажем, что каждое множество , открытое в топологии, индуцированной метрикой , открыто и в топологии произведения.

Рассмотрим произвольную точку . Существует такое , что . Далее достаточно найти положительное число  и открытые множества , такие, что .

Пусть - положительное целое число, удовлетворяющее условию:

.                                                                                                     

Для  положим  и  для .

Для каждой точки  . Рассмотрим полученные суммы. Так как , где  , то . Так как  для любых , то . Тогда , т.е. . Таким образом . Следовательно, множество  открыто в тихоновской топологии произведения.

2) Пусть множество  открыто в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой .

Требуется доказать, что для любой точки  найдется такое , что .

Так как множество  открыто в топологии произведении, то  для некоторого множества , где  - открыто в  и  для любого  и  для всех индексов  кроме конечного их числа. Поскольку  и  открыто в , то  для конечного числа индексов, для которых . Пусть  - наименьший из этих значений . Докажем, что . Возьмем произвольное . Тогда . Отсюда  для любого . Это означает, что  для любого . Получили . Следовательно, множество  открыто в топологии, индуцируемой метрикой . Теорема доказана.


Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств

1. Дискретное топологическое пространство.

 - произвольное непустое множество. Открытым назовем любое подмножество в . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Рассмотрим   Для любого  множество  открыто, так как . Следовательно, открыто и любое подмножество в  как объединение одноэлементных множеств. Вывод: дискретное топологическое пространство – метризуемо.

2. Двоеточия.

. Рассмотрим топологии на .

1)  - простое двоеточие.

2)  - связное двоеточие.

3)  - слипшееся двоеточие.

 - метризуемо, так как топология  - дискретная.

,  - неметризуемы, так как не являются хаусдорфовыми.

3. Стрелка ().

В  открытыми назовем  и множества вида , где . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Топологическое пространство  не является хаусдорфовым, а значит неметризуемо.

4. Окружности Александрова (пространство ).

Открытые множества в :

первого рода: интервал на малой окружности  плюс его проекция на большую окружность , из которой выброшено конечное число точек.

второго рода: каждая точка на большой окружности открыта.

1. Множество  замкнуто в  тогда и только тогда, когда  - конечно.

Доказательство. Очевидно, что любое конечное множество  замкнуто как дополнение открытого. Пусть  и  - бесконечно. Докажем, что  - незамкнуто.

Так как  - бесконечно, то оно содержит счетное подмножество, которое можно рассмотреть как последовательность точек, принадлежащих . Эта последовательность ограничена в , по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Так как  замкнуто в , то предел этой последовательности . Пусть  - точка, для которой  является проекцией на . Возьмем произвольное открытое в  множество , содержащее точку . Тогда исходя из структуры открытых множеств первого рода получаем, что  содержит бесконечно много точек множества , т.е.  является предельной точкой множества . При этом . Следовательно,  - незамкнуто.

2. Множество  не совершенно нормально.  

Доказательство. Пусть дуга  . Множество  открыто, как объединение открытых одноэлементных множеств. Замкнутыми в  являются по доказанному лишь конечные множества. Но счетное объединение конечных множеств счетно. Следовательно  открыто и не является множеством типа . Таким образом множество  неметризуемо.


Библиографический список

1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. – М.: Наука, 1973.

2. Энгелькинг Р. Общая топология – М.: Мир, 1986.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М. Наука, 1989.



© 2009 РЕФЕРАТЫ
рефераты