Пусть х (млн. шт.) – объем производства, С(х)=2х3-7х и D(x)=2х2+9х+15 – соответственно функция издержек и доход некоторой фирмы. При каком значении х фирма получит наибольшую прибыль π(х)? какова эта прибыль?

Решение

Прибыль фирмы является разницей между доходом и издержками фирмы:

Найдем наибольшее значение прибыли путем нахождения максимума функции .

- не удовлетворяет условию задачи,

График функции прибыли представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 - График функции прибыли

Как видно из рисунка 1, функция прибыли в точке х=2 достигает максимального значения. Следовательно, фирма получает наибольшую прибыль при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составляет:

млн. у.е.

Ответ: наибольшую прибыль фирма получит при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составит 39 млн. у.е.

Задача 2

Заданы: функция прибыли , где х1 и х2 – объемы некоторых ресурсов; цены р1=1 и р2=1 за единицу каждого ресурса соответственно (в некоторых у.е.); бюджетное ограничение I=150 на затраты по приобретению указанных ресурсов (в тех же у.е.). При каких значениях объемов используемых ресурсов фирма–производитель получит наибольшую прибыль?

Решение

Задача сводится к поиску максимума функции при существовании ограничения :

при .

Найдем максимум функции графически.

Рисунок 2 – График функции

Как видно, функция достигает максимального значения при х1=90.

Ответ: фирма–производитель получит наибольшую прибыль при объемах ресурсов х1=90 и х2=60.

Задача 3

Задана парная выборка из 10 пар значений случайных велbчин X и Y (таблица 1).

Таблица 1 – Исходные данные

	х	у
1	5	70
2	11	65
3	15	55
4	17	60
5	2	50
6	22	35
7	25	40
8	27	30
9	30	25
10	35	32

1) Изобразите корреляционное поле случайных величин X и Y.

2) Вычислите основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации.

3) Найдите их совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции.

4) С помощью найденных характеристик составьте уравнение линейной регрессии Y на X.

5) Составьте уравнение линейной регрессии X на Y.

6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии.

7) Вычислите стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0 и b1.

8) Проверьте гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0 и b1.

9) Вычислите с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0 и b1 регрессии Y на X.

10) Найдите коэффициент детерминации R2 и поясните смысл полученного результата.

Решение.

1) Корреляционное поле случайных величин X и Y

2) Основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации

Таблица 2 – Вспомогательные расчеты

	х	у	х2	y2	xy
1	5	70	25	4900	350
2	11	65	121	4225	715
3	15	55	225	3025	825
4	17	60	289	3600	1020
5	2	50	4	2500	100
6	22	35	484	1225	770
7	25	40	625	1600	1000
8	27	30	729	900	810
9	30	25	900	625	750
10	35	32	1225	1024	1120
сумма	189	462	4627	23624	7460
средн	18,9	46,2	462,7	2362,4	746

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднеквадратическое отклонение:

Размах вариации:

3) Совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции

Ковариация:

Коэффициент корреляции:

4) Уравнение линейной регрессии Y на X

5) Уравнение линейной регрессии X на Y

6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии

Точка пересечения (18,4;46,9).

7) Стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0 и b1

Таблица 3 – Вспомогательные расчеты

	х	у	x'	y'	x-xcp	y-ycp	(x-xcp)2	(y-ycp)2
1	5	70	5,572	62,975	-13,028	16,775	169,7288	281,4006
2	11	65	8,3645	55,745	-10,2355	9,545	104,7655	91,10702
3	15	55	13,9495	50,925	-4,6505	4,725	21,62715	22,32562
4	17	60	11,157	48,515	-7,443	2,315	55,39825	5,359225
5	2	50	16,742	66,59	-1,858	20,39	3,452164	415,7521
6	22	35	25,1195	42,49	6,5195	-3,71	42,50388	13,7641
7	25	40	22,327	38,875	3,727	-7,325	13,89053	53,65563
8	27	30	27,912	36,465	9,312	-9,735	86,71334	94,77023
9	30	25	30,7045	32,85	12,1045	-13,35	146,5189	178,2225
10	35	32	26,795	26,825	8,195	-19,375	67,15803	375,3906
сумма	189	462	188,643	462,255	2,643	0,255	711,7565	1531,748
средн	18,9	46,2	18,8643	46,2255	0,2643	0,0255	71,17565	153,1748